Calcule a integral:

∫ 1 2 4 y 2 - 7 y - 12 y y + 2 y - 3 d y

Passo 1

O problema quer que calculemos a seguinte integral:

∫ 1 2 4 y 2 - 7 y - 12 y y + 2 y - 3 d y

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, aqui já tá prontinho, não é preciso manipular nada, é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

4 y 2 - 7 y - 12 y y + 2 y - 3 = A y + B y + 2 + C y - 3

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores y y + 2 y - 3 :

4 y 2 - 7 y - 12 = A y + 2 y - 3 + B y y - 3 + C y y + 2

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

4 y 2 - 7 y - 12 = A y + 2 y - 3 + B y y - 3 + C y y + 2

= A y 2 - y - 6 + B y 2 - 3 y + C y 2 + 2 y

= A y 2 - A y - 6 A + B y 2 - 3 B y + C y 2 + 2 C y

= y 2 A + B + C + y - A - 3 B + 2 C + - 6 A

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x , x 2 de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 4 - A - 3 B + 2 C = - 7 - 6 A = - 12 → A = 2

Substituindo o valor de A :

B + C = 2 → B = 2 - C - 3 B + 2 C = - 5 - 6 A = - 12 → A = 2

Isolando B na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

- 3 B + 2 C = - 5 → - 3 2 - C + 2 C = - 5 → - 6 + 3 C + 2 C = - 5 → C = 1 5

Assim achamos B :

B = 2 - 1 5 = 9 5

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 4 y 2 - 7 y - 12 y y + 2 y - 3 d y = ∫ 2 y + 9 5 y + 2 + 1 5 y - 3 d y

= ∫ 2 y + 9 5 y + 2 + 1 5 y - 3 d y

= ∫ 2 y d y + ∫ 9 5 y + 2 d y + ∫ 1 5 y - 3 d y

Pronto, agora vamos resolver as três separadamente.

Passo 2

A primeira Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 2 y d y = 2 ∫ 1 y d y = 2 ln ⁡ y + C

Passo 3

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   t no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = y + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d y = d y

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 9 5 y + 2 d y = ∫ 9 5 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 9 5 u d u = 9 5 ∫ 1 u d u = 9 5 ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   t no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = y - 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d y = d y

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 5 y - 3 d y = ∫ 1 5 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 5 u d u = 1 5 ∫ 1 u d u = 1 5 ln ⁡ u + C

Passo 5

Juntando temos:

∫ 2 y d y + ∫ 9 5 y + 2 d y + ∫ 1 5 y - 3 d y = 2 ln ⁡ y + 9 5 ln ⁡ u + 1 5 ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável y , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 2 y d y + ∫ 9 5 y + 2 d y + ∫ 1 5 y - 3 d y = 2 ln ⁡ y + 9 5 ln ⁡ y + 2 + 1 5 ln ⁡ y - 3 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 1 2 4 y 2 - 7 y - 12 y y + 2 y - 3 d y = 2 ln ⁡ y + 9 5 ln ⁡ y + 2 + 1 5 ln ⁡ y - 3 1 2

= 2 ln ⁡ 2 + 9 5 ln ⁡ 2 + 2 + 1 5 ln ⁡ 2 - 3 - 2 ln ⁡ 1 + 9 5 ln ⁡ 1 + 2 + 1 5 ln ⁡ 1 - 3

= 2 ln ⁡ 2 + 9 5 ln ⁡ 4 + 1 5 ln ⁡ 1 - 0 + 9 5 ln ⁡ 3 + 1 5 ln ⁡ 2 = 2 ln ⁡ 2 + 9 5 ln ⁡ 4 - 9 5 ln ⁡ 3 - 1 5 ln ⁡ 2

= 9 5 ln ⁡ 2 + 9 5 ln ⁡ 4 - 9 5 ln ⁡ 3

Prontinhooo!

Resposta

∫ 1 2 4 y 2 - 7 y - 12 y y + 2 y - 3 d y = 2 ln ⁡ 2 + 9 5 ln ⁡ 4 - 9 5 ln ⁡ 3 - 1 5 ln ⁡ 2 = 9 5 ln ⁡ 2 + 9 5 ln ⁡ 4 - 9 5 ln ⁡ 3

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