Enunciado

Calcule a integral:

int_1^2 (4 y^2 - 7 y - 12)/(y (y + 2) (y - 3)) d y

Passo 1

O problema quer que calculemos a seguinte integral:

int_1^2 (4 y^2 - 7 y - 12)/(y (y + 2) (y - 3)) d y

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, aqui já tá prontinho, não é preciso manipular nada, é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

(4 y^2 - 7 y - 12)/(y (y + 2) (y - 3)) = (A)/(y) + (B)/(y + 2) + (C)/(y - 3)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores y (y + 2) (y - 3) :

4 y^2 - 7 y - 12 = A (y + 2) (y - 3) + B y (y - 3) + C y (y + 2)

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

4 y^2 - 7 y - 12 = A (y + 2) (y - 3) + B y (y - 3) + C y (y + 2)

= A (y^2 - y - 6) + B (y^2 - 3 y) + C (y^2 + 2 y)

= A y^2 - A y - 6 A + B y^2 - 3 B y + C y^2 + 2 C y

= y^2 (A + B + C) + y (- A - 3 B + 2 C) + (- 6 A)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x , x^2 de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 4],[- A - 3 B + 2 C = - 7],[- 6 A = - 12 -> A = 2]])

Substituindo o valor de A :

{[[B + C = 2 -> B = 2 - C],[- 3 B + 2 C = - 5],[- 6 A = - 12 -> A = 2]])

Isolando B na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

- 3 B + 2 C = - 5 -> - 3 (2 - C) + 2 C = - 5 -> - 6 + 3 C + 2 C = - 5 -> C = (1)/(5)

Assim achamos B :

B = 2 - (1)/(5) = (9)/(5)

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (4 y^2 - 7 y - 12)/(y (y + 2) (y - 3)) d y = int (2)/(y) + ((9)/(5))/(y + 2) + ((1)/(5))/(y - 3) d y

= int (2)/(y) + (9)/(5 (y + 2)) + (1)/(5 (y - 3)) d y

= int (2)/(y) d y + int (9)/(5 (y + 2)) d y + int (1)/(5 (y - 3)) d y

Pronto, agora vamos resolver as três separadamente.

Passo 2

A primeira Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (2)/(y) d y = 2 int (1)/(y) d y = 2 ln |y| + C

Passo 3

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um t no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = y + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d y = d y

Fazendo a substituição ficamos com:

int (9)/(5 (y + 2)) d y = int (9)/(5 u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (9)/(5 u) d u = (9)/(5) int (1)/(u) d u = (9)/(5) ln |u| + C

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um t no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = y - 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d y = d y

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(5 (y - 3)) d y = int (1)/(5 u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(5 u) d u = (1)/(5) int (1)/(u) d u = (1)/(5) ln |u| + C

Passo 5

Juntando temos:

int (2)/(y) d y + int (9)/(5 (y + 2)) d y + int (1)/(5 (y - 3)) d y = 2 ln |y| + (9)/(5) ln |u| + (1)/(5) ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável y , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (2)/(y) d y + int (9)/(5 (y + 2)) d y + int (1)/(5 (y - 3)) d y = 2 ln |y| + (9)/(5) ln |y + 2| + (1)/(5) ln |y - 3| + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_1^2 (4 y^2 - 7 y - 12)/(y (y + 2) (y - 3)) d y = (2 ln |y| + (9)/(5) ln |y + 2| + (1)/(5) ln |y - 3|)_1^2

= 2 ln |2| + (9)/(5) ln |2 + 2| + (1)/(5) ln |2 - 3| - (2 ln |1| + (9)/(5) ln |1 + 2| + (1)/(5) ln |1 - 3|)

= 2 ln 2 + (9)/(5) ln 4 + (1)/(5) ln 1 - (0 + (9)/(5) ln 3 + (1)/(5) ln 2) = 2 ln 2 + (9)/(5) ln 4 - (9)/(5) ln 3 - (1)/(5) ln 2

= (9)/(5) ln 2 + (9)/(5) ln 4 - (9)/(5) ln 3

Prontinhooo!

Resposta

int_1^2 (4 y^2 - 7 y - 12)/(y (y + 2) (y - 3)) d y = 2 ln 2 + (9)/(5) ln 4 - (9)/(5) ln 3 - (1)/(5) ln 2 = (9)/(5) ln 2 + (9)/(5) ln 4 - (9)/(5) ln 3

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