Calcule a integral indefinda

∫ e x d x 7 + e 2 x

Passo 1

∫ e x d x 7 + e 2 x

Aquele e x está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = e x → d a = e x d x

Vamos ter:

∫ e x d x 7 + e 2 x = ∫ d a a 2 + 7

Passo 2

Vamos para a integral em a

∫ d a a 2 + 7

Ela vai ser quase a integral da tg - 1 ⁡   , precisamos de y 2 + 1 no denominador, para isso vamos colocar o 7 em evidência:

7 a 2 7 + 1

E faremos

a 2 7 = y 2 → a 7 = y

Assim

d a = 7 d y

A integral fica:

∫ d a a 2 + 7 = ∫ d a 7 a 2 7 + 1 = ∫ 7 d y 7 y 2 + 1 = 7 7 ∫ d y y 2 + 1

Agora temos a integral de tg - 1 ⁡  

7 7 ∫ d y y 2 + 1 = 7 7 tg - 1 ⁡ y + C

Voltando para a

7 7 tg - 1 ⁡ y + C = 7 7 tg - 1 ⁡ a 7 + C

Voltando para x :

7 7 tg - 1 ⁡ a 7 + C = 7 7 tg - 1 ⁡ e x 7 + C

Resposta

7 7 tg - 1 ⁡ e x 7 + C

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