Enunciado

Calcule a integral.

int_0^2 (2 t)/((t - 3)^2) d t

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral definida da função f (x) = (2 t)/((t - 3)^2) , no intervalo [ 0 , 2 ] .

Nesse formato, a função fica meio difícil de integrar, concorda? Então, vamos tentar aplicar uma substituição que facilite a nossa vida na hora de integrar. Pra isso, vamos usar:

x = t - 3

-> t = x + 3

Dessa forma, derivando teremos a diferencial:

d x = 1 * d t

d x = d t

Além disso, de acordo com a equação x = t - 3 , vamos precisar modificar nosso intervalo. Então:

P a r a t = 0 -> x = - 3

P a r a t = 2 -> x = - 1

Então, agora nosso intervalo de integração passa a ser [ - 3 , - 1 ] . Beleza? Então, bora lá substituir tudo na integral e calcular.

Passo 2

Fazendo as substituições, ficamos com:

int_0^2 (2 t)/((t - 3)^2) d t = int_(- 3)^(- 1) (2 x + 6)/(x^2) d x

Simplificando a fração, temos:

int_(- 3)^(- 1) ((2)/(x) + (6)/(x^2)) d x

Mas como a integral da soma é igual a soma das integrais, temos:

int_(- 3)^(- 1) ((2)/(x)) d x + int_(- 3)^(- 1) ((6)/(x^2)) d x

Colocando as constantes do lado de fora da integral:

2 int_(- 3)^(- 1) (1)/(x) d x + 6 int_(- 3)^(- 1) (1)/(x^2) d x

E calculando a integral, obtemos:

= 2 [ln |x|]_(- 3)^(- 1) - 6 [(1)/(x)]_(- 3)^(- 1)

Aplicando os limites de integração:

= 2 (ln 1 - ln 3) - 6 (- 1 + (1)/(3))

= 4 - 2 ln 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 - 2 ln 3

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