Calcule a integral.

∫ 0 2 2 t t - 3 2 d t

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral definida da função f x = 2 t t - 3 2 , no intervalo [ 0 ,   2 ] .

Nesse formato, a função fica meio difícil de integrar, concorda? Então, vamos tentar aplicar uma substituição que facilite a nossa vida na hora de integrar. Pra isso, vamos usar:

x = t - 3

→ t = x + 3

Dessa forma, derivando teremos a diferencial:

d x = 1 ∙   d t

d x = d t

Além disso, de acordo com a equação x = t - 3 , vamos precisar modificar nosso intervalo. Então:

P a r a   t = 0 →   x = - 3

P a r a   t = 2 → x = - 1

Então, agora nosso intervalo de integração passa a ser [ - 3 ,   - 1 ] . Beleza? Então, bora lá substituir tudo na integral e calcular.

Passo 2

Fazendo as substituições, ficamos com:

∫ 0 2 2 t t - 3 2 d t = ∫ - 3 - 1 2 x + 6 x 2 d x

Simplificando a fração, temos:

∫ - 3 - 1 2 x + 6 x 2 d x

Mas como a integral da soma é igual a soma das integrais, temos:

∫ - 3 - 1 2 x d x + ∫ - 3 - 1 6 x 2 d x

Colocando as constantes do lado de fora da integral:

2 ∫ - 3 - 1 1 x d x + 6 ∫ - 3 - 1 1 x 2 d x

E calculando a integral, obtemos:

= 2   ln ⁡ x - 3 - 1 - 6 1 x - 3 - 1

Aplicando os limites de integração:

= 2   ln ⁡ 1 - ln ⁡ 3 - 6 - 1 + 1 3

= 4 - 2 ln ⁡ 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 - 2 ln ⁡ 3

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