Calcule a integral.

∫ x t g 2 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ x t g 2 x d x

E supondo:

u = x   e   d v = t g 2 x d x

Conseguimos encontrar:

d u = d x

E:

v = ∫ t g 2 x d x

Porém, como essa integral não pode ser resolvida diretamente, precisamos transformar isso em uma forma integrável. Então, usando a identidade trigonométrica:

t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1

Podemos fazer:

v = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x

Agora sim, conseguimos calcular a integral e encontramos:

v = t g x - x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ x t g 2 x d x = x t g x - x - ∫ t g x - x d x

Que pode ser reescrita como:

∫ x t g 2 x d x = x t g x - x 2 - ∫ t g x d x + ∫ x d x

Passo 4

Resolvendo as últimas integrais restante, conseguiremos encontrar:

∫ x t g 2 x d x = x t g x - x 2 - ln ⁡ sec ⁡ x + x 2 2 + C

Logo:

∫ x t g 2 x d x = x t g x - x 2 2 - ln ⁡ 1 cos ⁡ x + C

Ou ainda:

∫ x t g 2 x d x = x t g x - x 2 2 - ln ⁡ cos ⁡ x - 1 + C

Assim, pela propriedade de logaritmo, esse resultado pode ser reescrito como:

∫ x t g 2 x d x = x t g x - x 2 2 - - 1 ln ⁡ cos ⁡ x + C

Portanto:

∫ x t g 2 x d x = x t g x - x 2 2 + ln ⁡ cos ⁡ x + C

Resposta

∫ x t g 2 x d x = x t g x - x 2 2 + ln ⁡ cos ⁡ x + C

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