Enunciado

Calcule a integral.

int x^3 e^(x^2) d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int x^3 e^(x^2) d x

Que, por conveniência, vamos escrever da forma:

int x^2 (x e^(x^2)) d x

E supondo:

u = x^2 e d v = x e^(x^2) d x

Conseguimos encontrar:

d u = 2 x d x

E:

v = int x e^(x^2) d x

Porém, como essa integral não pode ser resolvida diretamente, precisamos encontrar uma forma de resolvê-la. Então, usando o método da substituição simples com:

u = x^2 -> d u = 2 x d x

Podemos fazer:

v = int e^u ((d u)/(2))

Que, calculando e substituindo a variável original, resulta em:

v = (1)/(2) e^(x^2)

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int x^3 e^(x^2) d x = (x^2) ((1)/(2) e^(x^2)) - int ((1)/(2) e^(x^2)) (2 x d x)

Que pode ser reescrita como:

int x^3 e^(x^2) d x = (1)/(2) x^2 e^(x^2) - int x e^(x^2) d x

Passo 4

Aplicando o método da substituição simples para a integral do lado direito da equação, com:

u = x^2 -> d u = 2 x d x

Conseguimos fazer:

int x e^(x^2) d x = int e^u ((d u)/(2))

Então:

int x e^(x^2) d x = (1)/(2) e^u

Substituindo a variável de origem:

int x e^(x^2) d x = (1)/(2) e^(x^2)

Passo 5

Finalmente, a integral do exercício será dada por:

int x^3 e^(x^2) d x = (1)/(2) x^2 e^(x^2) - (1)/(2) e^(x^2) + C

E, tirando o fator comum:

int x^3 e^(x^2) d x = (1)/(2) e^(x^2) (x^2 - 1) + C

Resposta

int x^3 e^(x^2) d x = (1)/(2) e^(x^2) (x^2 - 1) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.27 . int_1^5 (ln (R))/(R^2) d R
Calcule a integral.16 . int (z)/(10^z) d z
26 . ∫ 1 2 w 2 ln ⁡ ( w )d w
Calcule a integral.31 . int_1^5 (M)/(e^M) d M
Calcule a integral. 33 .∫ 0 π 3 sin ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x d x