Calcule a integral.

∫ x 2 - 9 x d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ x 2 - 9 x d x

= ∫ x 2 - 3 2 x d x

Vamos chamar:

x = 3 sec ⁡ θ

d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 3 sec 2 ⁡ θ 2 - 3 2 3 sec ⁡ θ d θ

Simplificamos tudo, e fica:

∫ 3 sec 2 ⁡ θ - 1 tan ⁡ θ d θ

Usamos a identidade trigonométrica:

3 ∫ tan 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= 3 ∫ tan 2 ⁡ θ d θ

= 3 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

3 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

= 3 tan ⁡ θ - θ + C

= 3 tan ⁡ θ - 3 θ + C

Voltando para x :

3 x 2 - 9 3 - 3 sec - 1 ⁡ x 3 + C

= x 2 - 9 - 3 sec - 1 ⁡ x 3 + C

Resposta

x 2 - 9 - 3 sec - 1 ⁡ x 3 + C

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