Calcule a integral.

∫ 1 x 2 x 2 - 16 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ 1 x 2 x 2 - 16 d x

= ∫ 1 x 2 x 2 - 4 2 d x

Vamos chamar:

x = 4 sec ⁡ θ

d x = 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 4 sec ⁡ θ 2 4 sec ⁡ θ 2 - 4 2 d θ

= ∫ tan ⁡ θ 4 sec ⁡ θ ⋅ 16 sec 2 ⁡ θ - 16 d θ

= ∫ tan ⁡ θ 4 sec ⁡ θ ⋅ 4 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

= 1 16 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Usamos a identidade trigonométrica:

1 16 ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

= 1 16 ∫ 1 sec ⁡ θ d θ

= 1 16 ∫ cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

1 16 ∫ cos ⁡ θ d θ

= 1 16 sin ⁡ θ + C

= 1 16 sin ⁡ θ + C

Voltando para x :

1 16 x 2 - 16 x + C

= x 2 - 16 16 x + C

Resposta

x 2 - 16 16 x + C

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