Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ 4 t - π 4     d t

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ 4 t - π 4     d t

u = 4 t - π 4 d u = 4 d t   ⇒ d u 4 = d t

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ 4 t - π 4     d t =   ∫ 0 π 4 c o s 2 u d u 4 = 1 4 ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ u   d u  

Passo 3

Para resolver esta integral precisamos recordar primeiramente a seguinte propriedade trigonométrica:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim:

  1 4 ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ u   d u = 1 4   ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 u 2   d u

Passo 4

Vamos retirar a constante e aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

∫ a b ( f x ± g ( x ) )   d x =   ∫ a b f x d x ±   ∫ a b g x d x

Assim, temos que :

1 4   ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 u 2   d u   = 1 4 × 1 2 ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 u   d u = 1 8 ∫ 0 π 4 d u + 1 8   ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 u d u    

Passo 5

Vamos agora efetuar a integração e substituir u pela função que atribuímos, temos:

1 8 ∫ 0 π 4 d u + 1 8   ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 u d u   = 1 8 u π 4 0 + 1 8 ( s e n 2 u 2 ) 0 π 4 =    

= 1 8 4 t - π 4 π 4 0 + 1 16 ( s e n 4 t - π 4 ) 0 π 4

Passo 6

Substituiremos agora os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

= 1 8 4 t - π 4 π 4 0 + 1 16 ( s e n 4 t - π 4 ) 0 π 4 = 1 8 π - π 4 + π 4 + 1 16 s e n π - π 4 - s e n - π 4 =

= 1 8 π + 1 16 s e n 3 π 4 - s e n - π 4 = π 8

Resposta

π 8

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