Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 1 2 x 3 1 + 9 x 4 - 3 2     d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 1 2 x 3 1 + 9 x 4 - 3 2     d x

u = 1 + 9 x 4 d u = 36 x 3 d x   ⇒ d u 36 = x 3 d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 0 1 2 x 3 1 + 9 x 4 - 3 2     d x =   ∫ 0 1 2 u - 3 2 36     d u = 1 36   ∫ 0 1 2 u - 3 2     d u    

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

1 36   ∫ 0 1 2 u - 3 2     d u   = 1 36 u - 1 2 - 1 2 0 1 / 2  

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

- 2 36 u - 1 2 1 2 0 = - 2 36 1 + 9 x 4 - 1 2 1 2 0 =   - 2 36 1 1 + 9 x 4 1 2   1 2 0  

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

      - 2 36 1 1 + 9 x 4 1 2   1 2 0 =   - 2 36 1 1 + 9 1 2 4 - 1 1   =   - 2 36 1 1 + 9 16 - 1 =   - 2 36 1 5 4 - 1 =   - 2 36 4 5 - 1 =   - 2 36 - 1 5 = 1 90  

Resposta

1 90

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