Enunciado

Calcule a integral.

int (5 x - 5)/(3 x^2 - 8 x - 3) d x

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

3 x^2 - 8 x - 3 = 3 (x + (1)/(3)) (x - 3) = (3 x + 1) (x - 3)

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(5 x - 5)/(3 x^2 - 8 x - 3) = (5 x - 5)/((3 x + 1) (x - 3)) = (A)/((3 x + 1)) + (B)/(x - 3)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (3 x + 1) (x - 3) :

5 x - 5 = A (x - 3) + B (3 x + 1)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

5 x - 5 = A (x - 3) + B (3 x + 1)

5 x - 5 = A x - 3 A + 3 B x + B

5 x - 5 = x (A + 3 B) + (- 3 A + B)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + 3 B = 5],[- 3 A + B = - 5]])

Isolando A na primeira temos:

A = 5 - 3 B

Agora substituindo isso na segunda temos:

- 3 A + B = - 5 -> - 3 (5 - 3 B) + B = - 5 -> - 15 + 9 B + B = - 5 -> 10 B = - 5 + 15 ->

-> 10 B = 10 -> B = 1

Temos então que o valor de A é:

A = 5 - 3 B = 5 - 3 * 1 = 5 - 3 = 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (5 x - 5)/(3 x^2 - 8 x - 3) d x = int (2)/((3 x + 1)) + (1)/(x - 3) d x = int (2)/((3 x + 1)) d x + int (1)/(x - 3) d x =

= 2 int (1)/((3 x + 1)) d x + int (1)/(x - 3) d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = 3 x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 + 0 d x = 3 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 int (1)/((3 x + 1)) d x = 2 int (1)/(3 u) d u = (2)/(3) int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(2)/(3) int (1)/(u) d u = (2)/(3) ln |u| + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x - 3) d x = int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (1)/(v) d v = ln |v| + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int (5 x - 5)/(3 x^2 - 8 x - 3) d x = 2 int (1)/((3 x + 1)) d x + int (1)/(x - 3) d x = (2)/(3) ln |u| + ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (5 x - 5)/(3 x^2 - 8 x - 3) d x = (2)/(3) ln |u| + ln |v| + C = (2)/(3) ln |3 x + 1| + ln |x - 3| + C

Resposta

int (5 x - 5)/(3 x^2 - 8 x - 3) d x = (2)/(3) ln |3 x + 1| + ln |x - 3| + C

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