Calcular a área da região sob o gráfico y = -1 / (x^2(x - 5)) de x = 1 até x = 4 .

Passo 1

A área pedida é a da figura aqui:

Passo 2

Pra calcular a área aqui é só a gente resolver a integral:

∫ 1 4 - 1 x 2 x - 5   d x

Aqui a gente tem um termo quadrático e um termo linear, então a gente usa frações parciais assim:

1 x 2 x - 5 = A x + B x 2 + C x - 5

Aí a gente tem que achar A , B   e   C .

Passo 3

Vai ficar assim:

1 x 2 x - 5 = A x ( x - 5 ) x + B ( x - 5 ) x 2 + C x 2 x - 5

Cortamos os denominadores...

1 = A x x - 2 + B x - 5 + C x 2

1 = A x 2 - 2 A x + B x - 5 B + C x 2

1 = x 2 A + C + x - 2 A + B - 5 B

Pra ser igual, a gente precisa que:

A + C = 0 - 2 A + B = 0 - 5 B = 1

Daqui a gente acha B = - 1 5 ; A = - 1 25 ; C = 1 25 .

Passo 4

Vamos remontar a integral:

1 x 2 x - 5 = - 1 25 x - 1 5 x 2 + 1 25 x - 5

- ∫ 1 4 - 1 25 x - 1 5 x 2 + 1 25 x - 5   d x

- - 1 25 ∫ 1 4 1 x d x - 1 5 ∫ 1 4 1 x 2 d x + 1 25 ∫ 1 4 1 x - 5 d x

- - 1 25 ln ⁡ x + 1 5 x + 1 25 ln ⁡ x - 5 1 4

+ 1 25 ln ⁡ 4 - 1 20 - 1 25 ln ⁡ - 1 - 1 25 ln ⁡ 1 + 1 5 + 1 25 ln ⁡ | - 4 |

2 25 ln ⁡ 4 + 3 20 u . a

Prontinho! Essa é a área pedida😊

Resposta

2 25 ln ⁡ 4 + 3 20 u . a

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