Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (5)/(x^3 + 4 x) d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

int (5)/(x^3 + 4 x) d x = 5 int (1)/(x (x^2 + 4)) d x

Vamos usar Frações Parciais, vamos então usar a seguinte fórmula:

(1)/(x (x^2 + 4)) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 4)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x (x^2 + 4) :

1 = A (x^2 + 4) + (B x + C) x

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (x^2 + 4) + (B x + C) x

1 = A x^2 + 4 A + B x^2 + C x

1 = x^2 (A + B) + x (C) + (4 A)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0],[C = 0],[4 A = 1]]) -> {[[B = - A],[C = 0],[A = (1)/(4)]]) -> {[[B = - (1)/(4)],[C = 0],[A = (1)/(4)]])

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

5 int (1)/(x (x^2 + 4)) d x = 5 int ((1)/(4))/(x) + (- (1)/(4) x + 0)/(x^2 + 4) d x = 5 int (1)/(4 x) - (x)/(4 (x^2 + 4)) d x =

= 5 int (1)/(4 x) d x + 5 int - (x)/(4 (x^2 + 4)) d x = (5)/(4) int (1)/(x) d x - (5)/(4) int (x)/(x^2 + 4) d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(5)/(4) int (1)/(x) d x = (5)/(4) ln |x| + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição por último na terceira:

r = x^2 + 4

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 2 x + 0 d x = 2 x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- (5)/(4) int (x)/(x^2 + 4) d x = - (5)/(4) int (1)/(2 r) d r = - (5)/(8) int (1)/(r) d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (5)/(8) int (1)/(r) d r = - (5)/(8) ln |r| + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

(5)/(4) int (1)/(x) d x - (5)/(4) int (x)/(x^2 + 4) d x = (5)/(4) ln |x| - (5)/(8) ln |r| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (5)/(x^3 + 4 x) d x = (5)/(4) ln |x| - (5)/(8) ln |r| + C = (5)/(4) ln |x| - (5)/(8) ln |x^2 + 4| + C

Resposta

int (5)/(x^3 + 4 x) d x = (5)/(4) ln |x| - (5)/(8) ln |x^2 + 4| + C

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