Calcule a integral indefinida.

∫ x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 3 - 1   d x

Passo 1

Pra começar a gente pode dividir a função de cima pela de baixo.

O quociente vai dar 1 e vai sobrar x 2 + 2 x + 2 . Então a gente pode reescrever a integral como:

∫ 1 + x 2 + 2 x + 2 x 3 - 1 d x

Separando:

∫ 1   d x + ∫ x 2 + 2 x + 2 x 3 - 1 d x

A primeira a gente sabe que dá x , então bora calcular a segunda...

Passo 2

∫ x 2 + 2 x + 2 x 3 - 1 d x

A gente pode fatorar o denominador como:

x 3 - 1 = ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 )

E aí nossa função fica:

x 2 + 2 x + 2 x - 1 x 2 + x + 1

Temos um termo linear e um quadrático irredutível, então a gente vai usar frações parciais assim:

x 2 + 2 x + 2 x - 1 x 2 + x + 1 = A x - 1 + B x + C x 2 + x + 1

Passo 3

Vamos calcular A ,   B   e C agora:

x 2 + 2 x + 2 x - 1 x 2 + x + 1 = A ( x 2 + x + 1 ) x - 1 + ( B x + C ) ( x - 1 ) x 2 + x + 1

Cortamos os denominadores agora...

x 2 + 2 x + 2 = A x 2 + A x + A + B x 2 - B x + C x - C

x 2 + 2 x + 2 = x 2 A + B + x A - B + C + A - C

Pra isso ser verdadeiro, a gente precisa que:

A + B = 1

A - B + C = 2

A - C = 2

Aí aqui a gente descobre que A = 5 3 ,   B = - 2 3   e   C = - 1 3 .

Nossa fração então virou:

5 3 ( x - 1 ) + - 2 x - 1 3 ( x 2 + x + 1 )

Passo 4

Beleza, agora a gente integra:

∫ 5 3 x - 1 - 2 x + 1 3 x 2 + x + 1 d x

A gente pode separar assim:

5 3 ∫ 1 x - 1 d x - 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + x + 1 d x

Aí integrando a primeira direto, temos:

5 3 ln ⁡ x - 1

E a segunda a gente faz substituição. Vamos fazer u = x 2 + x + 1 , aí d u = 2 x + 1 .

- 1 3 ∫ d u u =   - 1 3 ln ⁡ u =   - 1 3 ln ⁡ x 2 + x + 1

Prontinho! Agora é só juntar as duas e somar a constante:

I = 5 3 ln ⁡ x - 1 - 1 3 ln ⁡ x 2 + x + 1 + C

E... acabou!

Resposta

I = 5 3 ln ⁡ x - 1 - 1 3 ln ⁡ x 2 + x + 1 + C

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