Calcule a integral indefinida.

∫ x d x x - 1 2 x + 1 2

Passo 1

Nessa a gente tem termos lineares que se repetem, então a gente vai fazer frações parciais assim:

x x - 1 2 x + 1 2 = A x - 1 + B x - 1 2 + C x - 1 + D x + 1 2

Nosso trabalhinho agora vai ser encontrar esses A ,   B ,   C   e   D .

Vamos lá...

Passo 2

Desenvolvendo aqui, a gente vai ter:

x x - 1 2 x + 1 2 = A x - 1 x + 1 2 x - 1 + B x - 1 2 x - 1 2 + C x + 1 x - 1 2 x + 1 + D x - 1 2 x + 1 2

Agora a gente dá tchau pros denominadores...

x = A x - 1 x + 1 2 + B x - 1 2 + C x + 1 x - 1 2 + D x - 1 2

x = A x 3 + 2 x 2 + x - x 2 - 2 x - 1 + B x 2 - 2 x + 1 + C x 3 + x 2 - 2 x 2 - 2 x + x + 1 + D ( x 2 - 2 x + 1 )

x = x 3 A + C + x 2 A + B - C + D + x - A + 2 B - C - 2 D - A + B + C + D

Tá, pra isso ser igual, a gente precisa que:

A + C = 0 A + B - C + D = 0 - A + 2 B - C - 2 D = 1 - A + B + C + D = 0

E aqui a gente encontra A = 0 ; B = 1 4 ; C = 0   e   D = - 1 4 .

Passo 3

Agora a gente vai remontar nossa integral com essas frações parciais...

0 x - 1 + 1 4 x - 1 2 + 0 x - 1 - 1 4 x + 1 2  

I = ∫ 1 4 x - 1 2 - 1 4 x + 1 2   d x

Vamos separar:

I = 1 4 ∫ 1 x - 1 2 d x - 1 4 ∫ 1 x + 1 2 d x

Integrando as duas agora:

1 4 ∫ 1 x - 1 2 d x = 1 4 1 x - 1

- 1 4 ∫ 1 x + 1 2 d x =   - 1 4 1 x + 1

Aí juntando as duas e somando a constante, a gente chega na resposta:

I = 1 4 x - 1 - 1 4 x + 1 + C  

Pronto😉

Resposta

I = 1 4 x - 1 - 1 4 x + 1 + C  

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