Enunciado

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Calcule a integral abaixo:

39 –

∫ e t d t e 2 t + 3 e t + 2

Passo 1

Vamos considerar y = e t , substituindo:

∫   d y y ² + 3 y + 2

Sendo:

y 2 + 3 y + 2 = y + 2 ⋅ ( y + 1 )

Desta forma:

1 ( y + 2 ) ( y + 1 ) = A y + 2 + B y + 1

Tirando mmc:

1 ( y + 2 ) ( y + 1 ) = A y + 1 + B ( y + 2 ) ( y + 2 ) ( y + 1 )

Cortando os denominadores temos que:

1 = A y + 1 + B ( y + 2 )

Aplicando a distributiva:

1 = A y + A + B y + 2 B

Organizando os temos:

1 = A + B y + A + 2 B

Assim:

A + B = 0

A + 2 B = 1

Desta forma:

A = 1 - 2 B

Substituindo A na primeira equação:

1 - 2 B + B = 0 ;   - B + 1 = 0 ;   - B = 1 ; B = 1

Substituindo B para achar A:

A + B = 0 ; A + 1 = 0 ; A = - 1

Assim:

1 ( y + 2 ) ( y + 1 ) = - 1 y + 2 + 1 y + 1

Passo 2

Agora vamos substituir na Integral:

∫ - 1 y + 2 + 1 y + 1 d y =   - ∫ 1 y + 2 d y +   ∫ 1 y + 1   d y

Resolvendo a primeira integral temos:

- ∫ 1 y + 2 d y =   - ln ⁡ y + 2

Resolvendo a segunda Integral:

∫ 1 y + 1   d y = ln ⁡ y + 1

Passo 3

Juntando os resultados obtidos, para y = e t :

- ln ⁡ e t + 2 + ln ⁡ e t + 1 = ln ⁡ e t + 1 e t + 2 + C

Resposta

ln ⁡ e t + 1 e t + 2 + C

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