Calcule a Integral abaixo:

22 –

∫ 0 π 2 s e n 2 2 θ cos 3 ⁡ 2 θ   d θ

Passo 1

Realizar por substituição udu =

u = 2 θ

d u = 2

d x = 1 d u = 1 2

Inserindo na integral:

∫ 0 π 2 s e n 2 u cos 3 ⁡ u 1 2 d u = 1 2 ∫ 0 π 2 s e n 2 u cos 3 ⁡ u   d u

Vamos expandir a integral obtida pela integração por substituição:

1 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ u * cos ⁡ u sin 2 ⁡ u   d u

Dado a indentidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ u = 1 - sen 2 ⁡ ( u )

Logo:

1 2 ∫ 0 π 2 ( 1 - sin 2 ⁡ u ) ⋅ cos ⁡ u ⋅ sen 2 ⁡ u d u

Passo 2

Para resolver a integral, vamos utilizar outro método de substituição, dado:

v = s e n u

d v = cos ⁡ u

d u = 1 d v = 1 cos ⁡ u

Substituindo na integral temos:

1 2 ∫ 0 π 2 ( 1 - v 2 ⁡ ) ⋅ cos ⁡ u ⋅ v 2 ⋅ 1 cos u ⁡ d v

Organizando os temos e simplificando o c o s ⁡ ( u ) :

1 2 ∫ 0 π 2 v 2 1 - v 2 ⋅ cos ⁡ u cos ⁡ u d v = 1 2 ∫ 0 π 2 v 2 - v 4   d v

1 2 v 3 3 - v 5 5 0 π 2

Substituir dado: v = s e n   u  

1 2 s e n 3 u 3 - s e n 5 u 5 0 π 2

Passo 3

Substituindo para u = 2 θ

1 2 s e n 3 u 3 - s e n 5 u 5 0 π 2 = 1 2 s e n 3 ( 2 θ ) 3 - s e n 5 ( 2 θ ) 5 0 π 2

Substituindo com os limites de integração:

1 2 s e n 3 ( 2 π ) 3 - s e n 5 ( 2 π ) 5 - s e n 3 ( 0 ) 3 - s e n 5 ( 0 ) 5

Dado:

s e n   2 π = 0   e   s e n 0 = 0  

1 2 0 3 - 0 5 - 0 3 - 0 5

1 2 0 = 0

Resposta

0

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