Efetue a antidiferenciação ∫ 2 t 2 + 1 1 / 3 t 3 d t

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será 2 t 2 + 1 , sendo chamado de u. Assim:

u = 2 t 2 + 1 Vamos reorganizar a equação e aplicar a derivada dos dois lados da equação:

2 t 2 = u - 1 t 2 = u - 1 2     (1) 2 t d t = d u 2 t d t = d u 4 (2)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 2 temos do lado esquerdo a expressão t d t , que pode ser facilmente obtida através de uma manipulação matemática na expressão da integral, abrindo o t ³ em t 2 . t

∫ 2 t 2 + 1 1 / 3 t 3 d t = ∫ 2 t 2 + 1 1 / 3 t 2 t d t

Feito isso, podemos substituir as variáveis.

∫ u 1 3 t 2 d u 4

O termo t ² pode ser obtido através da manipulação da substituição da variável u. Nesse caso, ela já foi calculada no Passo 1, na quação (1). Fazendo a substituição na integral temos:

∫ u 1 3 u - 1 2.4 d u  

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

∫ ( u 4 3 - u 1 3 ) 8 d u 1 8 ∫ ( u 4 3 - u 1 3 ) d u 1 8 u 7 3 7 3 - u 4 3 4 3 1 8 [ 3 7 2 t 2 + 1 7 3 - 3 4 2 t 2 + 1 4 3 + C

Resposta

O resultado final é:

∫ 2 t 2 + 1 1 / 3 t 3 d t =   1 8 [ 3 7 2 t 2 + 1 7 3 - 3 4 2 t 2 + 1 4 3 + C  

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