Enunciado

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(4)) (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema temos que calcular a integral

int_0^((pi)/(4)) (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta

Parece complicado?

Para resolver esse problema podemos simplificar nossa função de integração para podermos aplicar o teorema fundamental do calculo.

Veja só!

Passo 2

Primeiramente devemos achar a integral indefinida geral dessa função:

int (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta = int (1)/(cos^2 theta) + (cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta

int (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta = int sec^2 theta + 1 d theta

Pelo teorema fundamental do calculo, sabemos que

int (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta = tan theta + theta + C

Logo, também pelo Teorema fundamental do Cálculo, a integral definida é:

int_0^((pi)/(4)) (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta = [tan theta + theta + C] ((pi)/(4))/(0)

int_0^((pi)/(4)) (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta = [tan (pi)/(4) + (pi)/(4) + C] - [tan 0 + 0 + C]

int_0^((pi)/(4)) (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta = tan (pi)/(4) + (pi)/(4) = 1 + (pi)/(4)

int_0^((pi)/(4)) (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta = 1 + (pi)/(4)

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

int_0^((pi)/(4)) (1 + cos^2 theta)/(cos^2 theta) d theta = 1 + (pi)/(4)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 12 a 34, calcular as integrais.int_0^(- 1) (x^3 + 8)/(x + 2) d x
Usar o resultado do Exercício 35 para calcular:int_(- pi)^(pi) 2 sen x d x int_(- pi)^(pi) (cos x)/(pi) d x int_(- 1)^1 (x^4 + x^2) d x
Usar o resultado do Exercício 35 para calcular:int_(- pi)^(pi) 2 sen x d x int_(- pi)^(pi) (cos x)/(pi) d x int_(- 1)^1 (x^4 + x^2) d x
Usar o resultado do Exercício 35 para calcular:int_(- pi)^(pi) 2 sen x d x int_(- pi)^(pi) (cos x)/(pi) d x int_(- 1)^1 (x^4 + x^2) d x
Seja f contínua em - a , a . Mostrar que:Se f é par, então ∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x .Se f é ímpar, então ∫ - a a f x d x = 0 .