Enunciado

Se a e b forem número positivos, mostre que

int_0^1 x^a (1 - x)^b d x = int_0^1 x^b (1 - x)^a d x

Passo 1

O exercício pede para mostramos que trocar a por b na integral não faz diferença. Para isso, vamos usar substituição. Consideremos a primeira integral:

int_0^1 x^a (1 - x)^b d x

Vamos fazer a substituição u = 1 - x . Assim, d u = - d x e x = 1 - u . Além disso, para x = 0 , u = 1 e para x = 1 , u = 0 .

Passo 2

Fazendo a mudança de variáveis, obtemos:

int_0^1 x^a (1 - x)^b d x = int_1^0 (1 - u)^a u^b (- d u) = - int_1^0 u^b (1 - u)^a d u

Se invertermos os limites, podemos trocar o sinal. Assim,

int_0^1 x^a (1 - x)^b d x = int_0^1 u^b (1 - u)^a d u

Passo 3

Estamos quase lá, só falta fazer uma nova mudança de variável u = x . Note que d u = d x e nada é alterado. Desta forma,

int_0^1 x^a (1 - x)^b d x = int_0^1 x^b (1 - x)^a d x

Resposta

Demonstração.

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Resolve a integral abaixo:27 – int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n^2 x)/(sqrt(1 - cos x)) d x
g)∫ 1 2 3 s 1 + s 2 d s
f) int_0^1 x sqrt(1 + 2 x^2) d x
l)int_0^3 (x^2)/(sqrt(x + 1)) d x
7. Calcule.o) ∫ 0 3 x 3 x 2 + 1 d x