Calcule a integral

∫ cot 3 ⁡ α csc 3 ⁡ α d α

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos relembrar a seguinte propriedade trigonométrica: cot 2 ⁡ ( α ) + 1 = csc 2 ⁡ ( α ) .

Então, substituindo

∫ cot 3 ⁡ α csc 3 ⁡ α d α = ∫ cot 2 ⁡ α csc 2 ⁡ α c o t α c s c α d α = ∫ csc 2 ⁡ α - 1 csc 2 ⁡ α c o t ( α ) c s c ( α ) d α

Vamos resolver pelo método da substituição

Seja u = csc ⁡ α , temos que d u = - csc ⁡ α cot ⁡ α d α , então, substituindo

∫ csc 2 ⁡ α - 1 csc 2 ⁡ α c o t α c s c α d α = ∫ u 2 - 1 u 2 - d u = - ∫ u 4 - u 2 d u = - 1 5 u 5 + 1 3 u 3 + c = - 1 5 csc 5 ⁡ α + 1 3 csc 3 ⁡ α + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ cot 3 ⁡ α csc 3 ⁡ α d α = 1 3 csc 3 ⁡ α - 1 5 csc 5 ⁡ α + c

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