Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 11
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
onde é a região delimitada pelo semicírculo e o eixo .
Passo 1
Então, galerinha, primeiro de tudo, vamos esboçar essa tal região D e ver se ela é isso tudo mesmo. O enunciado disse pra gente que
Reorganizando os termos, eu tenho que
Temos aqui a equação de uma circunferência de raio 2
MAAASSS como nem tudo é um mar de rosas, quando o enunciado diz , ele na verdade quer dizer , ou seja, queremos somente a parte positiva do eixo x, então a região D na verdade é
Passo 2
Agora que a gente já sabe a região, podemos definir as substituições e os intervalos. Temos então que
O nosso ângulo vai estar variando de acordo com a região D, dado o círculo trigonométrico e a região que vimos é
Ou seja,
Já o vai variar de zero até seu valor máximo
Passo 3
Agora sim podemos escrever nossa integral em coordenadas polares
Temos então que
Lembrando que quando a substituição é para coordenadas polares, .
Lembra que . Então temos que
Vamos resolver essa integral por substituição simples. Fazendo , temos que , logo
Ala ela, a cara do coisa ruim, isso quer dizer que