Enunciado

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ D   e - x 2 - y 2   d A ,

onde D é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .

Passo 1

Então, galerinha, primeiro de tudo, vamos esboçar essa tal região D e ver se ela é isso tudo mesmo. O enunciado disse pra gente que

x = 4 - y 2

Reorganizando os termos, eu tenho que

x 2 = 4 - y ²

x 2 + y 2 = 4

Temos aqui a equação de uma circunferência de raio 2

MAAASSS como nem tudo é um mar de rosas, quando o enunciado diz x = 4 - y 2 , ele na verdade quer dizer x = + 4 - y 2 , ou seja, queremos somente a parte positiva do eixo x, então a região D na verdade é

Passo 2

Agora que a gente já sabe a região, podemos definir as substituições e os intervalos. Temos então que

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

O nosso ângulo vai estar variando de acordo com a região D, dado o círculo trigonométrico e a região que vimos é

Ou seja,

- π 2 < θ < π 2

Já o r vai variar de zero até seu valor máximo

0 < r < 2

Passo 3

Agora sim podemos escrever nossa integral em coordenadas polares

Temos então que

∬ D   e - x 2 - y 2   d A = ∬ D   e - ( x 2 + y 2 )   d A

Lembrando que quando a substituição é para coordenadas polares, d A = r   d r   d θ .

∬ D   e - ( x 2 + y 2 )   d A = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 e - ( ( r cos ⁡ θ ) 2 + r sin ⁡ θ 2 )   r   d r d θ

= ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 e - r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ   r   d r d θ

Lembra que cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 . Então temos que

∬ D   e - ( x 2 + y 2 )   d A = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 r   e - r ²   d r d θ

Vamos resolver essa integral por substituição simples. Fazendo - r 2 = u , temos que - 2 r   d r = d u , logo

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 r   e - r ²   d r d θ = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 4 -   e u   2 d u d θ

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 4 -   e u   2 d u d θ = ∫ - π / 2 π / 2 -   e u   2 0 4 d θ ∫ - π / 2 π / 2 - e - 4 2 - - e 0 2 d θ = ∫ - π / 2 π / 2 1 2 - e - 4 2 d θ

∫ - π / 2 π / 2 1 2 1 - e - 4 d θ = 1 2 1 - e - 4 θ - π / 2 π / 2

1 2 1 - e - 4 θ - π / 2 π / 2 = 1 2 π 2 1 - e - 4 - - π 2 1 - e - 4 = π 2 1 - e - 4

Ala ela, a cara do coisa ruim, isso quer dizer que

∬ D   e - x 2 - y 2   d A = π 2 1 - e - 4

Resposta

π 2 ( 1 - e - 4 )

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