Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 9.Revisão - Ex. 94

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Calcule a integral definida.

∫ 2 π / 3 π s e n 1 2 t 1 + cos ⁡ 1 2 t   d t

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 2 π / 3 π s e n 1 2 t 1 + cos ⁡ 1 2 t   d t

O primeiro passo é fazer a substituição x = 1 2 t ⇒ d t = 2 d x :

I = 2 ∫ π / 3 π / 2 s e n   x 1 + cos ⁡ x   d x

Passo 2

Agora basta fazer u = 1 + cos ⁡ x , já que d u = - s e n   x   d x . Note que quando x = π / 3 , temos que u = 1 + 1 2 = 3 2 . Já para x = π 2 , temos que u = 1 + 0 = 1 :

I = - 2 ∫ 3 2 1 1 u   d u = 2 ∫ 1 3 / 2 1 u   d u

Passo 3

Fazendo a integração:

I = 2 ln ⁡ u 1 3 2

Portanto,

I = 2 ln ⁡ 3 2 - ln ⁡ 1 = 2 ln ⁡ 3 2

Desta forma,

I = ln ⁡ 3 2 2 = ln ⁡ 9 4

Resposta

ln ⁡ 9 4

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