Calcule a integral indefinda

∫ d x 2 x 2 + 2 x + 3

Passo 1

∫ d x 2 x 2 + 2 x + 3

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

a 2 + 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

2 x 2 + 2 x + 2

Primeiro, vamos olhar so p 2 x 2 + 2 x , ele deve ficar parecido com a 2 + 2 a b + b 2 .

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

2 x 2 + 2 x

Vamos começar colocando o 2 em evidência:

2 x 2 + 2 x = 2 x 2 + x

Comaprando, teremos

a = x

b = 1 2

2 x 2 + x + 1 2 2

Aqui, vamos somar e subtrair 2 b 2 isso porque tem o 2 na frente do produto notável.

2 x 2 + 2 x + 2 = 2 x 2 + x + 1 2 2 - 2 1 2 2 + 2

Organizando

2 x 2 + 2 x + 2 = 2 x + 1 2 2 - 1 2 + 2 = 2 x + 1 2 2 + 3 2

Estamos quaaaase com o a 2 + 1 , para isso vamos colocar o 3 2 em evidência:

2 x + 1 2 2 + 3 2 = 3 2 4 3 x + 1 2 2   + 1

A nossa integral fica:

∫ d x 2 x 2 + 2 x + 3 = ∫ d x 3 2 4 3 x + 1 2 2   + 1 = 2 3 ∫ d x 4 3 x + 1 2 2   + 1

Passo 2

Com aquela integral:

2 3 ∫ d x 4 3 x + 1 2 2   + 1

Vamos fazer a substituição

4 3 x + 1 2 2 = a 2

a = 4 3 x + 1 2 → d a = 4 3 d x → d x = 3 4 d a

A nossa integral em a vai ser:

2 3 ∫ d x 4 3 x + 1 2 2   + 1 = 2 3 ∫ 3 4 d a a 2   + 1 = 2 3 3 4 ∫ d a a 2   + 1

Essa integral em a é a tg - 1 ⁡ a , então teremos:

2 3 3 4 ∫ d a a 2   + 1 = 2 3 3 4 tg - 1 ⁡ a + C

Voltando para x :

2 3 3 4 tg - 1 ⁡ a + C = 2 3 3 4 tg - 1 ⁡ 4 3 x + 1 2 + C

Resposta

2 3 3 4 tg - 1 ⁡ 4 3 x + 1 2 + C

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