Calcule a integral indefinida

∫ 2 d t t - 3 t 2 - 6 t + 5

Passo 1

∫ 2 d t t - 3 t 2 - 6 t + 5

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a 2

Ou

a 2 - 1

Como o termo x 2 está com o 1 , vamos procurar a segunda forma: a 2 - 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

t 2 - 6 t + 5

Vamos olhar so p t 2 - 6 t , ele deve ficar parecido com a 2 - 2 a b + b 2 .

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

Comaprando, teremos

a = t

b = 3

Agora, temos que somar e subtrair b 2 ,

t 2 - 6 t + 5 = t 2 - 6 t + 9 - 9 + 5 = t - 3 2 - 4

A nossa integral fica:

∫ 2 d t t - 3 t 2 - 6 t + 5 = ∫ 2 d t t - 3 t - 3 2 - 4

Passo 2

∫ 2 d t t - 3 t - 3 2 - 4

Podemos fazer u = t - 3 → d u = d t :

2 ∫ d u u u 2 - 4

Opa, e agora sim podemos identificar o u 2 - 4 na raiz. Essa é a substuição trigonométrica em que temos um termo x 2 - a e a substituição é x = a sec ⁡ θ → d x = a sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ . No nosso caso, faremos u 2 - 4 , a = 2 e u = 2 sec ⁡ θ →   d u = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ . Assim, nossa integral fica:

2 ∫ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ - 4 d θ

Vamos fazer as contas:

2 ∫ tan ⁡ θ 4 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ

Como sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ → sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ e:

2 ∫ tan ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ d θ

2 ∫ tan ⁡ θ 2 tan ⁡ θ d θ

∫ 1 d θ = θ + C

Como fizemos a substituição u = 2 sec ⁡ θ , temos que:

sec ⁡ θ = u 2

θ = arcsec ⁡ u 2

E quem era u ? Tínhamos que u = t - 3 , então:

θ = arcsec ⁡ t - 3 2

Com isso, nossa integral deu:

θ + C = arcsec ⁡ t - 3 2 + C

Resposta

arcsec ⁡ t - 3 2 + C

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