Calcule a integral definida.

∫ 0 3 1 r + 2 r + 1   d r

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 0 3 1 r + 2 r + 1   d r

Vamos fazer a substituição t = r + 1 . Assim,

t 2 = r + 1 ⇒ r + 2 = t 2 + 1

Além disso,

d r = 2 t   d t

Assim, mudando os limites de integração, nós teremos:

I = ∫ 1 2 1 t 2 + 1   t ⋅ 2 t   d t = 2 ∫ 1 2 1 1 + t 2   d t

Passo 2

Note que a primitiva é fácil de calcular e vai dar arco tangente:

I = 2 arctan ⁡ t 1 2

Assim,

I = 2 arctan ⁡ 2 - 2 arctan ⁡ 1 = 2 arctan ⁡ 2 - 2 ⋅ π 4

Portanto,

I = 2 arctan ⁡ 2 - π 2

Resposta

2 arctan ⁡ 2 - π 2

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