Calcule a integral definida.

∫ 0 4 x 2 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 0 4 x 2 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2   d x

Vamos usar a técnica das frações parciais nesse problema. Note que o denominador pode ser fatorado:

x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = x + 1 2 x + 2

Assim,

x 2 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = x 2 x + 1 2 ( x + 2 ) = A x + 1 + B x + 1 2 + C x + 2

Portanto,

A x + 1 x + 2 + B x + 2 + C x + 1 2 = x 2

Logo,

A x 2 + 3 x + 2 + B x + 2 + C x 2 + 2 x + 1 = x 2

Desta forma,

A + C x 2 + 3 A + B + 2 C x + 2 A + 2 B + C = x 2

Chegamos então ao sistema:

A + C = 1 3 A + B + 2 C = 0 2 A + 2 B + C = 0

Isolando B nas duas últimas equações:

B = - 3 A - 2 C               e             B = - A - C 2

Assim, igualando-as:

3 A + 2 C = A + C 2 ⇒ 2 A = C 2 - 2 C = - 3 C 2 ⇒ A = - 3 C 4

Substituindo essa relação na primeira equação:

- 3 C 4 + C = 1 ⇒ C 4 = 1 ⇒ C = 4

Assim, temos que

A = - 3 4 ⋅ 4 = - 3

Por fim,

B = - 3 ⋅ - 3 - 2 ⋅ 4 = 9 - 8 = 1

Temos então que A = - 3 , B = 1 e C = 4 . Assim,

x 2 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = - 3 x + 1 + 1 x + 1 2 + 4 x + 2

Portanto,

I = ∫ 0 4 - 3 x + 1 + 1 x + 1 2 + 4 x + 2   d x

Passo 2

Agora é só fazer a integração:

I = - 3 ln ⁡ x + 1 - 1 x + 1 + 4 ln ⁡ x + 2 0 4

Portanto, temos que

I = - 1 x + 1 + ln ⁡ x + 2 4 - ln ⁡ x + 1 3 0 4

Juntando os logaritmos:

I = ln ⁡ x + 2 4 x + 1 3 - 1 x + 1 0 4

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

I = ln ⁡ 6 4 5 3 - 1 5 - ln ⁡ 2 4 1 3 + 1

Portanto,

I = 4 5 + ln ⁡ 6 4 5 3 ⋅ 2 4 = 4 5 + ln ⁡ 3 4 5 3 = 4 5 + ln ⁡ 81 125

Assim, temos que

I = 4 5 - ln ⁡ 125 81

Resposta

4 5 - ln ⁡ 125 81

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