Enunciado

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Calcule a integral definida abaixo:

∫ - 2 - 1 e - ( x + 1 )   d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ - 2 - 1 e - ( x + 1 )   d x

u = - x - 1   d u = -   d x   ⇒ - d u = d x

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ - 2 - 1 e - ( x + 1 )   d x =   ∫ - 2 - 1 - e u   d u = - ∫ - 2 - 1 e u   d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração dada por:

∫ e x   d x = e x + C

Assim:

- ∫ - 2 - 1 e u   d u = ( - e u ) - 1 - 2

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

- e u - 1 - 2 = ( - e - x - 1 ) - 1 - 2

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

- e - x - 1 - 1 - 2 =   - e 0 - - e 1 =   - 1 + e

Passo 6

Resposta

e - 1  

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