Calcule a integral definida abaixo:

∫ - ln ⁡ 2 0 e 2 w   d w

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ - ln ⁡ 2 0 e 2 w   d w

u = 2 w d u = 2   d w   ⇒ d u 2 = d w

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ - ln ⁡ 2 0 e 2 w   d w =   ∫ - ln ⁡ 2 0 e u d u 2 = 1 2 ∫ - ln ⁡ 2   0   e u d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração dada por:

∫ e x   d x = e x + C

Assim:

1 2 ∫ - ln ⁡ 2   0   e u d u = 1 2 ( e u ) 0 - ln ⁡ 2

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

1 2 e u 0 - ln ⁡ 2 = 1 2 ( e 2 w ) 0 - ln ⁡ 2

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

1 2 e 2 w 0 - ln ⁡ 2 = 1 2 ( e 0 - e - 2 ln ⁡ 2 = 1 2 1 - 1 4 = 1 2 3 4 = 3 8

Resposta

3 8

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