Enunciado

Faça o gráfico da função y = x 2 3 - x - 1 1 3 . Em seguida, use a primeira derivada da função para explicar o que você está vendo.

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) em seguida, manualmente ou com auxílio de algum software obteremos um gráfico parecido com o que está abaixo,

Passo 2

Agora, explicaremos o por que o gráfico ficou daquela forma, mas para isso precisaremos sabe qual a cara de f ' x ,   ou seja,

Utilzando a regra da diferença e a regra da cadeia teremos

f ' x = 2 3 x -   1 3 - 1 3 x - 1 -   2 3

= 1 3 2 x -   1 3 - x - 1 -   2 3

Reescrevendo as potências teremos,

= 1 3 2 x   1 3 - 1 x - 1   2 3

= 1 3 2 x - 1   2 3 - x   1 3 x   1 3 x - 1   1 3

Sendo assim,

f ' ( x ) = 1 3 2 x - 1   2 3 - x   1 3 x   1 3 x - 1   2 3

Passo 3

Sabemos que através de f ' ( x ) podemos encontrar pontos críticos e isso irá nos ajudar a explicar o que está acontecendo com o gráfico de f ( x ) . Dessa maneira, para encontrar pontos críticos precisamos que f ' x = 0 ,isto é,

f ' x = 1 3 2 x - 1   2 3 - x   1 3 x   1 3 x - 1   2 3 = 0

Dividindo a igualdade por 3 temos

⇒ 2 x - 1   2 3 - x   1 3 x   1 3 x - 1   2 3 = 0

Para que a fração seja igual a zero,precisamos que o numerador seja igual a zero, ou seja,

⇒ 2 x - 1   2 3 - x   1 3 = 0

⇒ 2 x - 1   2 3 = x   1 3

⇒ 2 x - 1   2 3 3 = x   1 3 3

⇒ 8 x - 1   2 3 3 = x   1 3 3

Pela propriedade de potência de potência

⇒ x - 1   2 3 . 3 = x   1 3 ⋅ 3 8

⇒ x - 1 2 = x 8

⇒ x 2 - 2 x + 1   = x 8

⇒ x 2 - 2 x - x 8 + 1   = 0

⇒ x 2 - 17 x 8 + 1   = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, obteremos que as raízes do polinômio são x = 17 + 33 16 e x = 17 - 33 16

Sendo assim, temos dois candidatos à pontos críticos, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( 0 , 17 - 33 16 )     x = 17 - 33 16 ,   f ' ( x ) assume valores positivos ( f x   cresce). E para valores dentro do intervalo ( 17 - 33 16 , 17 + 33 16 )     x = 17 - 33 16   , f ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x   decresce). Logo, x = 17 - 33 16 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0 ,   17 + 33 16   ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 17 - 33 16 , 17 - 33 16 )     , x = 17 + 33 16 ,   f ' ( x ) assume valores negativos ( f x   decresce). E para valores dentro do intervalo ( 17 + 33 16 , + ∞ )     x = 17 + 33 16   , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x   cresce). Logo, x = 17 + 33 16 é um ponto de mínimo no intervalo de ( 0 , + ∞ ) .

Além disso , vamos analisar como f x se comporta nos intervalos ( - ∞ , 0 ) .Dessa forma, temos que no intervalo - ∞ , 0 ,   f x < 0 ,   ou seja, f ( x ) .

Resposta

f x assume um máximo em x = 17 - 33 16 ,     intervalo de ( 0 , 17 + 33 16 ,   ) e um mínimo em x = 17 + 33 16 no intervalo de 0 , + ∞ . Além disso, apresenta um comportamento decrescente no intervalo de - ∞ , 0 por isso o gráfico se apresenta dessa maneira:

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