Enunciado

Calcule a integral definida abaixo:

int_1^8 (log_4 theta)/(theta) d theta

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por partes . Esse método é aplicado quando temos duas funções distintas (trigonométricas, logarítmica, polinomial, exponencial, etc), sendo uma delas “fácil” de integrar e a outra “mais difícil” de integrar. Desse modo você chama uma função de f(x) e a outra de g’(x) . A sua f(x) você irá derivar (encontrando sua f’(x) ) e a sua g’(x) você irá integrar (encontrando sua g(x) ) e depois efetuar a seguinte operação:

int f (x) g ' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Assim, temos:

f (theta) = log_4 theta => f^' (theta) = (1)/(theta ln 4)

g^' (theta) = (1)/(theta) => g (theta) = ln theta

int_1^8 (log_4 theta)/(theta) d theta = ( log_4 theta ln theta ) (8)/(1) - int_1^8 (ln theta)/(theta ln 4) d theta

Passo 2

Agora devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_1^8 (ln theta)/(theta ln 4) d theta

u = ln theta d u = (1)/(theta) d theta

Passo 3

Aplicando a substituição temos:

( log_4 theta ln theta ) (8)/(1) - int_1^8 (ln theta)/(theta ln 4) d theta = ( log_4 theta ln theta ) (8)/(1) - (1)/(2 ln 2) int_1^8 u d u

Passo 4

Agora utilizaremos a a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

( log_4 theta ln theta ) (8)/(1) - (1)/(2 ln 2) int_1^8 u d u = ( log_4 theta ln theta ) (8)/(1) - (1)/(2 ln 2) ( (u^2)/(2) )_1^8

Passo 5

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

( log_4 theta ln theta ) (8)/(1) - (1)/(2 ln 2) ( (u^2)/(2) )_1^8 = ( log_4 theta ln theta ) (8)/(1) - (1)/(2 ln 2) ( (l n^2 theta)/(2) )_1^8

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

[ ( log_4 theta ln theta ) - (1)/(2 ln 2) ((l n^2 theta)/(2)) ]_1^8 =

= [ log_4 8 ln 8 - (1)/(4 ln 2) ( ln^2 8 ) ] - [ log_4 1 ln 1 - (1)/(4 ln 2) ( ln^2 1 ) ] =

= [ (ln 8)/(ln 4) ln 8 - (1)/(4 ln 2) ( ln^2 8 ) ] - [0] = (ln^2 8)/(ln 4) - (ln^2 8)/(4 ln 2) = (ln^2 (2^3))/(ln 4) - (ln^2 ( 2^3 ))/(4 ln 2) =

= (18 ln^2 2 - 9 ln^2 2)/(4 ln 2) = (9 ln^2 2)/(4 ln 2) = (9 ln 2)/(4)

Resposta

(9 ln 2)/(4)

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