Calcule a integral definida abaixo:

∫ 1 8   ⁡ log 4 ⁡ θ θ     d θ

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por partes . Esse método é aplicado quando temos duas funções distintas (trigonométricas, logarítmica, polinomial, exponencial, etc), sendo uma delas “fácil” de integrar e a outra “mais difícil” de integrar. Desse modo você chama uma função de f(x) e a outra de g’(x) . A sua f(x) você irá derivar (encontrando sua f’(x) ) e a sua g’(x) você irá integrar (encontrando sua g(x) ) e depois efetuar a seguinte operação:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x d x

Assim, temos:

f θ = log 4 ⁡ θ ⇒ f ' θ = 1 θ ln ⁡ 4

g ' θ = 1 θ ⇒ g θ = ln ⁡ θ

∫ 1 8   ⁡ log 4 ⁡ θ θ     d θ = ( log 4 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) 8 1 - ∫ 1 8 ln ⁡ θ   θ ln ⁡ 4   d θ

Passo 2

Agora devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 1 8 ln ⁡ θ   θ ln ⁡ 4   d θ

u = ln ⁡ θ d u = 1 θ   d θ

Passo 3

Aplicando a substituição temos:

( log 4 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) 8 1 - ∫ 1 8 ln ⁡ θ   θ ln ⁡ 4   d θ =   ( log 4 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) 8 1 - 1 2 ln ⁡ 2 ∫ 1 8 u   d u

Passo 4

Agora utilizaremos a a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

( log 4 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) 8 1 - 1 2 ln ⁡ 2 ∫ 1 8 u   d u =   ( log 4 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) 8 1 - 1 2 ln ⁡ 2 ( u 2 2 ) 1 8    

Passo 5

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

( log 4 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) 8 1 - 1 2 ln ⁡ 2 ( u 2 2 ) 1 8   =   ( log 4 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) 8 1 - 1 2 ln ⁡ 2 ( l n 2   θ 2 ) 1 8    

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

      [ ( log 4 ⁡ θ ln ⁡ θ   ) - 1 2 ln ⁡ 2 l n 2   θ 2 ] 1 8 =

= [ log 4 ⁡ 8 ln ⁡ 8 - 1 4 ln ⁡ 2   ( ln 2 ⁡ 8 ) ] - [ log 4 ⁡ 1 ln ⁡ 1 - 1 4 ln ⁡ 2 ( ln 2 ⁡ 1 ) ] =

= [ ln ⁡ 8   ln ⁡ 4 ln ⁡ 8 - 1 4 ln ⁡ 2 ( ln 2 ⁡ 8 ) ]   - 0 = ln 2 ⁡ 8 ln ⁡ 4   - ln 2 ⁡ 8   4 ln ⁡ 2 = ln 2 ⁡ 2 3 ln ⁡ 4   - ln 2 ( ⁡ 2 3 ) 4 ln ⁡ 2   =  

= 18 ln 2 ⁡ 2 - 9 ln 2 ⁡ 2   4 ln ⁡ 2   = 9 ln 2 ⁡ 2 4 ln ⁡ 2   = 9 ln ⁡ 2   4

Resposta

9 ln ⁡ 2   4

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