Enunciado

Calcule a integral definida.

int_(pi // 6)^(pi // 2) (cos x d x)/(sen x + sen^3 x)

Passo 1

Podemos usar para resolver a integral a substituição u ( x ) = sen x , que nos dá d u = cos x d x . Sabendo que u ((pi)/(6)) = (1)/(2) e u ((pi)/(2)) = 1 , a nossa integral então ficará então:

int_((1)/(2))^1 (d u)/(u + u^3)

Passo 2

Agora podemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

(1)/(u^3 + u) = (1)/(u (u^2 + 1)) = (A)/(u) + (B u + C)/(u^2 + 1)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B e C . Vamos então fazer a soma:

(A)/(u) + (B u + C)/(u^2 + 1) = (A (u^2 + 1) + B u^2 + C u)/(u (u^2 + 1))

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

((A + B) u^2 + C u + A)/(u (u^2 + 1)) = (1)/(u (u^2 + 1))

Cada valor que está multiplicado por uma potência de u deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 0
  2. C = 0
  3. A = 1

Os valores são então A = 1 , B = - 1 e C = 0 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

(1)/(u (u^2 + 1)) = (1)/(u) - (u)/(u^2 + 1)

Passo 4

Agora podemos integrar:

int (d u)/(u (u^2 + 1)) = int (d u)/(u) - (1)/(2) int (2 u d u)/(u^2 + 1) = ln u - (1)/(2) ln (u^2 + 1) + C

Então:

int_((1)/(2))^1 (d u)/(u + u^3) = (ln u|_(1 // 2)^1 - ((1)/(2) ln (u^2 + 1)|_((1)/(2))^1 = ln 1 - ln (1)/(2) - (1)/(2) ln 2 + (1)/(2) ln ((5)/(4))

= ln 2 - (1)/(2) ln 2 + (1)/(2) ln 5 - ln 2 = (ln 5 - ln 2)/(2)

Resposta

(ln 5 - ln 2)/(2)

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