Calcule a integral definida.

∫ π / 6 π / 2 cos ⁡ x d x sen ⁡ x + sen 3 ⁡ x

Passo 1

Podemos usar para resolver a integral a substituição u ( x ) = sen ⁡ x , que nos dá d u = cos ⁡ x d x . Sabendo que u π 6 = 1 2 e u π 2 = 1 , a nossa integral então ficará então:

∫ 1 2 1 d u u + u 3    

Passo 2

Agora podemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

1 u 3 + u = 1 u u 2 + 1 = A u + B u + C u 2 + 1

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B e C . Vamos então fazer a soma:

A u + B u + C u 2 + 1 = A u 2 + 1 + B u 2 + C u u u 2 + 1

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

A + B u 2 + C u + A u u 2 + 1 = 1 u u 2 + 1    

Cada valor que está multiplicado por uma potência de u deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 0
  2. C = 0
  3. A = 1

Os valores são então A = 1 , B = - 1 e C = 0 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

1 u u 2 + 1 = 1 u - u u 2 + 1

Passo 4

Agora podemos integrar:

∫ d u u u 2 + 1 = ∫ d u u - 1 2 ∫ 2 u d u u 2 + 1 = ln ⁡ u - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 + C

Então:

∫ 1 2 1 d u u + u 3 = ln ⁡ u 1 / 2 1 - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 1 2 1 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 1 2 - 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 5 4

= ln ⁡ 2 - 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 5 - ln ⁡ 2 = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 2 2  

Resposta

ln ⁡ 5 - ln ⁡ 2 2

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