Enunciado

Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro

∫ d x x x - 1 2

Passo 1

Inicialmente, perceba que o grau do polinômio de baixo é maior que o de cima. Além disso, podemos reescrever o polinômio do denominador em função de suas raízes

Sendo assim,

∫ d x x x - 1 2 d x = ∫ d x x ( x - 1 ) ( x - 1 )

Cujas raízes do denominador são x = 0 e x = 1 , onde x = 1 é raízes duas vezes.

Passo 2

Note que o denominador é um produto de fatores lineares. Porém, não podemos utilizar o método de Heaviside para decompor d x x ( x - 1 ) ( x - 1 ) em frações parciais, pois x = 1 são raízes duas vezes.

Sendo assim, vamos utilizar outros métodos de decomposição em frações parciais.

Dessa forma,

1 x x - 1 2 = A x + B x - 1 + C x - 1 2

Realizando o MMC entre as frações teremos,

1 x x - 1 2 = A x - 1 2 + B x x - 1 + C x x x - 1 2

Como os denominadores são iguais então precisaremos apenas manipular os numeradores, ou seja,

1 = A x - 1 2 + B x x - 1 + C x

Substituindo valores estratégicos teremos

Para x = 0 ⇒ 1 = A 0 - 1 2 ⇒ A = 1

Para x = 1 ⇒ 1 = C . 1 ⇒ C = 1

Supondo arbitrariamente x = 2 teremos,

1 = A 2 - 1 2 + B 2 2 - 1 + C 2

Como C = 1 e A = 1 então

1 = 1 1 2 + B 2 1 + ( 1 ) 2

⇒ 1 = 1 + 2 B + 2

⇒ 2 B = - 2

⇒ B = - 1

Logo,

1 x x - 1 2 = A x + B x - 1 + C x - 1 2

1 x x - 1 2 = 1 x + - 1 x - 1 + 1 x - 1 2

Passo 3

Precisamos agora, calcular a integral

∫ 1 x + - 1 x - 1 + 1 x - 1 2 d x

Utilizando a propriedade da soma

= ∫ 1 x d x + ∫ - 1 x - 1 d x + ∫ 1 x - 1 2 d x

Usando a propriedade da retirada da constante

= ∫ 1 x d x - ∫ 1 x - 1 d x + ∫ 1 x - 1 2 d x

Utilizando o método de substituição em cada uma das integrais acima teremos,

= ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 - 1 x - 1

Portanto,

∫ d x x x - 1 2 d x = ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 - 1 x - 1 + C

Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante C , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.

Resposta

∫ d x x x - 1 2 d x = ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 - 1 x - 1 + C

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41. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ d x x 2 + x x