Enunciado

Calcule a integral definida.

int_(pi // 3)^(2 pi // 3) csc^2 ((t)/(2)) d t

Passo 1

Para resolver essa integral vamos utilizar a seguinte estratégia: fazer uma substituição simples, mudar os limites de integração de acordo com nossa variável e aplicar esses limites no nosso resultado. Assim, tomemos a seguinte substituição

(t)/(2) = u -> (d u)/(d t) = (1)/(2) -> 2 d u = d t

Agora, avaliando os limites de integração vamos ter

Q u a n d o t = (pi)/(3) -> u = (pi)/(6) , Q u a n d o t = (2 pi)/(3) -> u = (pi)/(3)

Então, nossa integral escrita em termos de u será

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) 2 * csc^2 (u) d u = [- 2 * cot (u)]_((pi)/(6))^((pi)/(3)) = [- 2 * cos ((pi)/(3)) + 2 * cot ((pi)/(6))] = - (2 sqrt(3))/(3) + 2 sqrt(3)

Resposta

- (2 sqrt(3))/(3) + 2 sqrt(3)

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q)∫ 0 π 6 cos ⁡ x s e n 5 x d x
j) ∫ 0 1 s s 2 + 1d s
d) ∫ 0 1 x1 - x 2d x
c) ∫ 1 2 x x 2 - 1 5d x
t) ∫ π 3 π 2 s e n 3 x d x