Calcule a integral definida:

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 d x  

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? Vamos começar usando a seguinte relação:

2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ 2

Elevando dos dois lados ao quadrado:

sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ 2 2 →       θ = x 2       →       sen 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 = sen ⁡ 2 x 2 2 2

Daí,

∫ sen 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = 1 4 ∫ sen 2 ⁡ ( x ) d x

Agora precisamos resolver essa integral.

Passo 2

Vamos utilizar a relação:

sen 2 ⁡ ( x ) = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Ficaremos então com:

∫ sen 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 x d x = 1 2 x - sen ⁡ 2 x 2 + C

Usamos a integral ∫ cos ⁡ a x d x = sen ⁡ a x a       a ≠ 0 .

Passo 3

Vamos substituir o resultado anterior na integral inicial.

∫ sen 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = 1 4 ∫ sen 2 ⁡ ( x ) d x = 1 4 ⋅ 1 2 x - sen ⁡ 2 x 2 + C

Passo 4

Agora resolveremos a integral definida. Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = 1 8 x - sen ⁡ 2 x 2 0 π 2 = 1 8 π 2 - sen ⁡ 2 π 2 2 - 1 8 0 - sen ⁡ 0 2

= 1 8 π 2 - sen ⁡ π 2 - 1 8 0 - sen ⁡ 0 2 = 1 8 π 2 - 0 - 1 8 0 - 0 = π 16

Lembre-se que sen ⁡ π = 0 e sen ⁡ 0 = 0 .

Resposta

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = π 16

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