Calcule a integral.

∫ s e n 3 2 x cos 2 ⁡ 2 x d x

Passo 1

Já que o expoente de seno é ímpar, vamos reescrever a integral assim:

∫ s e n 2 2 x cos 2 ⁡ 2 x s e n   2 x d x

Lembrando que:

s e n 2 2 x = 1 - cos 2 ⁡ 2 x

Substituindo isso na nossa integral:

∫ ( 1 - cos 2 ⁡ 2 x ) cos 2 ⁡ 2 x s e n   2 x d x = ∫ ( cos 2 ⁡ 2 x - cos 4 ⁡ 2 x )   s e n   2 x   d x

Passo 2

Agora a gente pode aplicar a substituição simples:

u = cos ⁡ 2 x ,     d u d x = - 2   s e n   2 x ∴ d u - 2 = s e n   2 x   d x

Substituindo na nossa integral:

∫ ( cos 2 ⁡ 2 x - cos 4 ⁡ 2 x )   s e n   2 x   d x = - 1 2 ∫ u 2 - u 4 d u =

= - 1 2 u 3 3 - u 5 5

Voltando para x :

= - 1 2 cos 3 ⁡ 2 x 3 - cos 5 ⁡ 2 x 5 = - cos 3 ⁡ 2 x 6 + cos 5 ⁡ 2 x 10 + C

Sem esquecer da constante de integração, já que isso não é uma integral definida.

Resposta

- cos 3 ⁡ 2 x 6 + cos 5 ⁡ 2 x 10 + C

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