Encontre a derivada da função dada:

g(x) = x^2 \* sen^(-1)(2x)

Passo 1

g x = x 2 sen - 1 ⁡ 2 x

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui. Pela regra do produto

g ' x = x 2 ' sen - 1 ⁡ 2 x + x 2 sen - 1 ⁡ 2 x '

Temos que achar a derivada daquele cosh - 1 ⁡ x 2 usando a regra da cadeia.

Fazendo

F x = sen - 1 ⁡ 2 x

Chamei de F x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F x = w h x

Com

w x = sen - 1 ⁡ x

h x = 2 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F ' x = w ' h x h ' x

Temos

w ' x = 1 1 - x 2

Então

F ' x = 1 1 - h x 2 h ' x

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h x

h x = 2 x → h ' x = 2

Vamos ter

f ' x = 1 1 - 2 x 2 2

f ' x = 2 1 - 4 x 2

Passo 3

Voltando para nossa função inicial:

f ' x = x 2 ' sen - 1 ⁡ 2 x + x 2 sen - 1 ⁡ 2 x '

f ' x = 2 x cosh - 1 ⁡ 2 x + x 2 2 1 - 4 x 2

f ' x = 2 x cosh - 1 ⁡ 2 x + 2 x 2 1 - 4 x 2

Resposta

f ' x = 2 x cosh - 1 ⁡ 2 x + 2 x 2 1 - 4 x 2

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