Encontre a derivada da função dada:

f(z) = (cotgh^(-1)(z^2))^3

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de cotg h - 1 ⁡  

co tgh - 1 ⁡ z ' = 1 1 - z 2

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

f z = h g w z

Com

h z = z 3

g z = cotgh - 1 ⁡ z

w z = z 2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f ' z = h ' g w z g w z '

f ' z = h ' g w z g ' w z w ' z

Temos

f ' z = 3 z 2

Que é a derivada de co tgh - 1 ⁡  

Então

f ' z = 3 g w z 2 g ' w z w ' z

Passo 2

Vamos achar a derivada de g z

g z = cotgh - 1 ⁡ z → g ' z = 1 1 - z 2

Vamos ter

f ' z = 3 cotgh - 1 ⁡ z 2 2 1 1 - w z 2 w ' z

Passo 3

Vamos agora para w z

w z = z 2 → w ' z = 2 z  

Vamos ficar com:

f ' z = 3 cotgh - 1 ⁡ z 2 2 1 1 - z 2 2 2 z

f ' z = 6 z cotgh - 1 ⁡ z 2 2 1 - z 4

Resposta

f ' z = 6 z cotgh - 1 ⁡ z 2 2 1 - z 4

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