Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() y sqrt(x^2 - y^2) d A , D = {(x , y) | 0 <= x <= 2 , 0 <= y <= x}

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a y e considerar x como uma constante. Podemos dizer que:

∬_D^() y sqrt(x^2 - y^2) d A = int_0^2 int_0^x y sqrt(x^2 - y^2) d y d x

Vamos resolver primeiro a integral de dentro:

int_0^x y sqrt(x^2 - y^2) d y

Como temos uma multiplicação de funções com relação a y , temos que aplicar algum método para resolver.

Vamos tentar o método da substituição. Consideraremos:

sqrt(x^2 - y^2) = u

x^2 - y^2 = u^2

Logo:

2 u (d u)/(d y) = - 2 y

- u d u = y d y

Agora temos que rearranjar a integral de forma que nos ajude a substituir.

int_0^x y sqrt(x^2 - y^2) d y = int_0^x u (- u d u)

int_0^x y sqrt(x^2 - y^2) d y = - int_0^x u^2 d u

Agora é só resolver:

- int_0^x u^2 d u = - [(u^3)/(3)]_0^x

Agora, vamos voltar resubstituir. Isso se faz necessário para que não ocorra uma indeterminação:

- int_0^x u^2 d u = - [((x^2 - y^2)^(3 // 2))/(3)]_0^x

- int_0^x u^2 d u = - (1)/(3) [(x^2 - x^2)^(3 // 2) - (x^2 - 0^2)^(3 // 2)]

- int_0^x u^2 d u = - (1)/(3) [(0)^(3 // 2) - (x^2)^(3 // 2)]

- int_0^x u^2 d u = (1)/(3) x^3

Logo:

int_0^2 int_0^x y sqrt(x^2 - y^2) d y d x = int_0^2 (1)/(3) x^3 d x

Passo 2

Agora é só resolver:

int_0^2 (1)/(3) x^3 d x = (1)/(3) int_0^2 x^3 d x

(1)/(3) int_0^2 x^3 d x = (1)/(3) [(x^4)/(4)]_0^2

(1)/(3) int_0^2 x^3 d x = (1)/(12) [x^4]_0^2

(1)/(3) int_0^2 x^3 d x = (1)/(1 2) (2^4 - 0^4)

(1)/(3) int_0^2 x^3 d x = (1)/(12) (16 - 0)

(1)/(3) int_0^2 x^3 d x = (16)/(12) = (4)/(3)

Logo:

int_0^2 int_0^x y sqrt(x^2 - y^2) d y d x = int_0^2 (1)/(3) x^3 d x = (4)/(3)

E:

∬_D^() y sqrt(x^2 - y^2) d A = (4)/(3)

Resposta

∬_D^() y sqrt(x^2 - y^2) d A = (4)/(3)

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