Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() (x^2 + 2 y) d A , D é l i m i t a d a p o r y = x , y = x^3 , x >= 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é esboçar as curvas que delimitam a região, para podermos avaliar nossa estratégia:

Vamos avaliar os limites de x :

x^3 = x

x^3 - x = 0

x (x^2 - 1) = 0

Logo, desde que x >= 0 temos que x = 0 , x = 1 . Portanto:

D = {(x , y) | 0 <= x <= 1 , x^3 <= y <= x}

Passo 2

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

∬_D^() (x^2 + 2 y) d A = int_0^1 int_(x^3)^x (x^2 + 2 y) d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

int_(x^3)^x (x^2 + 2 y) d y = [x^2 y + (2 y^2)/(2)]_(x^3)^x

int_(x^3)^x (x^2 + 2 y) d y = {[(x^2 ( x )) - (x^2 (x^3))] + [(x)^2 - (x^3)^2]}

int_(x^3)^x (x^2 + 2 y) d y = x^3 - x^5 + x^2 - x^6

Logo:

int_0^1 int_(x^3)^x (x^2 + 2 y) d y d x = int_0^1 (x^3 - x^5 + x^2 - x^6) d x

Passo 3

Agora é só resolver:

int_0^1 (x^3 - x^5 + x^2 - x^6) d x = [(x^4)/(4) - (x^6)/(6) + (x^3)/(3) - (x^7)/(7)]_0^1

Logo:

int_0^1 (x^3 - x^5 + x^2 - x^6) d x = (1)/(4) - (1)/(6) + (1)/(3) - (1)/(7)

int_0^1 (x^3 - x^5 + x^2 - x^6) d x = (23)/(84)

Portanto:

∬_D^() (x^2 + 2 y) d A = (23)/(84)

Resposta

∬_D^() (x^2 + 2 y) d A = (23)/(84)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule