Enunciado

Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B já é dado por:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ 3 θ   e - π 6 ≤ θ ≤ π 6

Além disso, fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B x   d x d y = ∫ ∫ B ρ θ ρ c o s θ   ρ d ρ d θ

= ∫ - π / 6 π / 6 c o s θ ∫ 0 cos ⁡ 3 θ ρ 2 d ρ d θ

E, resolvendo-a:

= ∫ - π / 6 π / 6 c o s θ ρ 3 3 | cos ⁡ 3 θ 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3 ∫ - π / 6 π / 6 c o s θ c o s 3 3 θ d θ

Passo 3

Agora temos que fazer essa integralzinha rsrsrs

O jeito de fazer isso é usando a seguinte fórmulinha

cos ⁡ n x cos ⁡ m x = 1 2 cos ⁡ n + m x + cos ⁡ n - m x

Como temos um cosseno ao cubo e um cosseno, vamos ter que usar essa fórmulinha algumas vezes, mas depois de simplificar isso tudo vamos ter nomente uma integral de vários cossenos que são tranquilas de fazer!

Vamos reescrever da seguinte maneira

cos ⁡ θ cos 3 ⁡ 3 θ = cos ⁡ 3 θ cos ⁡ 3 θ cos ⁡ 3 θ cos ⁡ θ

O primeira parênteses fica

cos ⁡ 3 θ cos ⁡ 3 θ = 1 2 cos ⁡ 3 + 3 θ + cos ⁡ 3 - 3 θ

= 1 2 cos ⁡ 6 θ + 1

E o segundo fica

cos ⁡ 3 θ cos ⁡ θ = 1 2 cos ⁡ 3 + 1 θ + cos ⁡ 3 - 1 θ

1 2 cos ⁡ 4 θ + cos ⁡ 2 θ

Assim

cos ⁡ θ cos 3 ⁡ 3 θ = 1 2 cos ⁡ 6 θ + 1 1 2   cos ⁡ 4 θ + cos ⁡ 2 θ

= 1 4 cos ⁡ 6 θ cos ⁡ 4 θ + cos ⁡ 6 θ cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ 4 θ + cos ⁡ 2 θ

Passo 4

Agora vamos aplicar de novo pros dois termos dentro do parênteses

cos ⁡ 6 θ cos ⁡ 4 θ = 1 2 cos ⁡ 6 + 4 θ + cos ⁡ 6 - 4 θ

1 2 cos ⁡ 10 θ + cos ⁡ 2 θ

E o segundo

cos ⁡ 6 θ cos ⁡ 2 θ = 1 2 cos ⁡ 6 + 2 θ + cos ⁡ 6 - 2 θ

1 2 cos ⁡ 8 θ + cos ⁡ 4 θ

Então finalmente

cos ⁡ θ cos 3 ⁡ 3 θ = 1 4 1 2 cos ⁡ 10 θ + cos ⁡ 2 θ + 1 2 cos ⁡ 8 θ + cos ⁡ 4 θ + cos ⁡ 4 θ + cos ⁡ 2 θ

1 4 1 2 cos ⁡ 10 θ + 1 2 cos ⁡ 8 θ + 3 2 cos ⁡ 4 θ + 3 2 cos ⁡ 2 θ

= 1 8 cos ⁡ 10 θ + cos ⁡ 8 θ + 3 cos ⁡ 4 θ + 3 cos ⁡ 2 θ

Passo 5

Show! Agora depois desse trabalhão já podemos integrar >

1 3 ∫ π / 6 π / 6 1 8 cos ⁡ 10 θ + cos ⁡ 8 θ + 3 cos ⁡ 4 θ + 3 cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 8 sen ⁡ 10 θ 10 + sen ⁡ 8 θ 8 + 3 4 sen ⁡ 4 θ + 3 2 sen ⁡ 2 θ π / 6 π / 6

= 1 24 1 10 sen ⁡ 10 π 6 - sen ⁡ - 10 π 6 + 1 8 sen ⁡ 8 π 6 - sen ⁡ - 8 π 6 + 3 4 sen ⁡ 4 π 6 - sen ⁡ - 4 π 6 + 3 2 sen ⁡ 2 π 3 - sen ⁡ - 2 π 3

Como a função seno é uma função ímpar, basta escrevermos

sen ⁡ x - sen ⁡ - x = sen ⁡ x - - sen ⁡ x = sen ⁡ x + sen ⁡ x = 2 sen ⁡ x

Assim

= 1 24 1 10 2 sen ⁡ 5 π 3 + 1 8 2 sen ⁡ 4 π 3 + 3 4 2 sen ⁡ 2 π 3 + 3 2 2 sen ⁡ 2 π 3

= 1 12 0 sen ⁡ 5 π 3 + 1 96 sen ⁡ 4 π 3 + 9 96 sen ⁡ 2 π 3

= 1 120 - 3 2 + 1 96 - 3 2 + 9 96 3 2 = 9 12 0 3 2

3 3 8 0  

Show! Deu trabalho mas conseguimos! :D

Resposta

3 3 80

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.
Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.
Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.
Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.
Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.