Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

f) x^2 + 4\*y^2 + 9\*z^2 <= 1 .

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vou te ajudar a resolver essa atividade, vem comigo?!

Perfeito — vamos fazer pela integral usando uma mudança de variáveis que reduz o elipsoide à esfera unitária.

O conjunto é

E = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 ≤ 1

Fazendo a transformação linear

u = x

v = 2 y

w = 3 z

Então a condição vira

u 2 + v 2 + w 2 ≤ 1

Passo 2

Precisamos do jacobiano da mudança

x = u , y = v 2 , z = w 3 ,

a matriz jacobiana é diagonal com entradas

1 , 1 2 , 1 3

Logo

d e t ∂ x , y , z ∂ u , v , w = 1 6

Portanto,

d V x y z = 1 6 d V u v w

O volume do elipsoide é

V = ∭ E   d V x y z = ∭ B   1 6 d V u v w = 1 6 ⋅ V o l B

Usando coordenadas esféricas em ( u , v , w ) para a bola unitária:

V o l B = ∫ 0 2 π   ∫ 0 π   ∫ 0 1   r 2 sin ⁡ ϕ d r d ϕ d θ = 4 π ⋅ 1 3 = 4 π 3

Finalmente:

V = 1 6 ⋅ 4 π 3 = 4 π 18 = 2 π 9 V = 2 π 9

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 2 π 9

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