Enunciado

Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B já é dado por:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= cos (3 theta) e - (pi)/(6) <= theta <= (pi)/(6)}

Além disso, fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (x) d x d y = int int_B_rho theta (rho c o s theta) rho d rho d theta

= int_(- pi // 6)^(pi // 6) c o s theta [int_0^(cos (3 theta)) (rho^2) d rho] d theta

E, resolvendo-a:

= int_(- pi // 6)^(pi // 6) c o s theta [(rho^3)/(3)] | [[cos (3 theta)],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) int_(- pi // 6)^(pi // 6) c o s theta [c o s^3 (3 theta)] d theta

Passo 3

Agora temos que fazer essa integralzinha rsrsrs

O jeito de fazer isso é usando a seguinte fórmulinha

cos (n x) cos (m x) = (1)/(2) [cos ((n + m) x) + cos ((n - m) x)]

Como temos um cosseno ao cubo e um cosseno, vamos ter que usar essa fórmulinha algumas vezes, mas depois de simplificar isso tudo vamos ter nomente uma integral de vários cossenos que são tranquilas de fazer!

Vamos reescrever da seguinte maneira

cos theta cos^3 3 theta = (cos 3 theta cos 3 theta) (cos 3 theta cos theta)

O primeira parênteses fica

cos 3 theta cos 3 theta = (1)/(2) [cos ((3 + 3) theta) + cos ((3 - 3) theta)]

= (1)/(2) [cos (6 theta) + 1]

E o segundo fica

cos 3 theta cos theta = (1)/(2) [cos ((3 + 1) theta) + cos ((3 - 1) theta)]

(1)/(2) [cos 4 theta + cos 2 theta]

Assim

cos theta cos^3 3 theta = (1)/(2) [cos (6 theta) + 1] (1)/(2) [cos 4 theta + cos 2 theta]

= (1)/(4) [cos 6 theta cos 4 theta + cos 6 theta cos 2 theta + cos 4 theta + cos 2 theta]

Passo 4

Agora vamos aplicar de novo pros dois termos dentro do parênteses

cos 6 theta cos 4 theta = (1)/(2) [cos ((6 + 4) theta) + cos ((6 - 4) theta)]

(1)/(2) [cos 10 theta + cos 2 theta]

E o segundo

cos 6 theta cos 2 theta = (1)/(2) [cos ((6 + 2) theta) + cos ((6 - 2) theta)]

(1)/(2) [cos 8 theta + cos 4 theta]

Então finalmente

cos theta cos^3 3 theta = (1)/(4) [(1)/(2) [cos 10 theta + cos 2 theta] + (1)/(2) [cos 8 theta + cos 4 theta] + cos 4 theta + cos 2 theta]

(1)/(4) [(1)/(2) cos 10 theta + (1)/(2) cos 8 theta + (3)/(2) cos 4 theta + (3)/(2) cos 2 theta]

= (1)/(8) [cos 10 theta + cos 8 theta + 3 cos 4 theta + 3 cos 2 theta]

Passo 5

Show! Agora depois desse trabalhão já podemos integrar >

(1)/(3) int_(pi // 6)^(pi // 6) (1)/(8) [cos 10 theta + cos 8 theta + 3 cos 4 theta + 3 cos 2 theta] d theta

= (1)/(8) [(sen 10 theta)/(10) + (sen 8 theta)/(8) + (3)/(4) sen 4 theta + (3)/(2) sen 2 theta]_(pi // 6)^(pi // 6)

= (1)/(24) [(1)/(10) (sen (10 pi)/(6) - sen (- 10 pi)/(6)) + (1)/(8) (sen (8 pi)/(6) - sen (- 8 pi)/(6)) + (3)/(4) (sen (4 pi)/(6) - sen (- 4 pi)/(6)) + (3)/(2) (sen (2 pi)/(3) - sen (- 2 pi)/(3))]

Como a função seno é uma função ímpar, basta escrevermos

sen x - sen - x = sen x - (- sen x) = sen x + sen x = 2 sen x

Assim

= (1)/(24) [(1)/(10) 2 sen ((5 pi)/(3)) + (1)/(8) 2 sen ((4 pi)/(3)) + (3)/(4) 2 sen ((2 pi)/(3)) + (3)/(2) 2 sen ((2 pi)/(3))]

= (1)/(12 0) sen ((5 pi)/(3)) + (1)/(96) sen ((4 pi)/(3)) + (9)/(96) sen ((2 pi)/(3))

= (1)/(120) (- (sqrt(3))/(2)) + (1)/(96) (- (sqrt(3))/(2)) + (9)/(96) (sqrt(3))/(2) = (9)/(12 0) (sqrt(3))/(2)

(3 sqrt(3))/(8 0)

Show! Deu trabalho mas conseguimos! :D

Resposta

(3 sqrt(3))/(80)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.
Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.
Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.
Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.
Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.