Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() (y)/(x^2 + 1) d A , D = {(x , y) | 0 <= x <= 4 , 0 <= y <= sqrt(x)}

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a y e considerar x como uma constante. Podemos dizer que:

∬_D^() (y)/(x^2 + 1) d A = int_0^4 int_0^(sqrt(x)) (y)/(x^2 + 1) d y d x

Vamos resolver a integral com relação a y :

int_0^4 int_0^(sqrt(x)) (y)/(x^2 + 1) d y d x = int_0^4 (1)/(x^2 + 1) (int_0^(sqrt(x)) y d y) d x

int_0^(sqrt(x)) y d y = [(y^2)/(2)]_0^(sqrt(x))

int_0^(sqrt(x)) y d y = (1)/(2) [y^2]_0^(sqrt(x))

int_0^(sqrt(x)) y d y = (1)/(2) [(sqrt(x))^2 - (0)^2]

int_0^(sqrt(x)) y d y = (x)/(2)

Logo:

int_0^4 int_0^(sqrt(x)) (y)/(x^2 + 1) d y d x = int_0^4 (1)/(x^2 + 1) ((x)/(2)) d x

int_0^4 int_0^(sqrt(x)) (y)/(x^2 + 1) d y d x = (1)/(2) int_0^4 (x)/(x^2 + 1) d x

Passo 2

Como temos uma divisão de funções com relação a x , temos que aplicar algum método para resolver.

Vamos tentar o método de substituição. Consideraremos t = x^2 + 1 . Logo:

(1)/(2) d t = x d x

Vamos testar se houve alteração nos limites de integração:

Quando x = 0 , então t = 0^2 + 1 = 1 .

Quando x = 4 , então t = 4^2 + 1 = 17 .

Podemos dizer então que:

(1)/(2) int_0^4 (x)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) int_1^(17) (1)/(t) * (d t)/(2)

Portanto:

(1)/(4) int_1^(17) (d t)/(t) = (1)/(4) [ln t]_1^(17)

(1)/(4) int_1^(17) (d t)/(t) = (1)/(4) [ln 17 - ln 1]

(1)/(4) int_1^(17) (d t)/(t) = (1)/(4) [ln 17 - 0]

(1)/(4) int_1^(17) (d t)/(t) = (1)/(4) ln 17

Então:

(1)/(2) int_0^4 (x)/(x^2 + 1) d x = (1)/(4) int_1^(17) (d t)/(t) = (1)/(4) ln 17

E:

int_0^4 int_0^(sqrt(x)) (y)/(x^2 + 1) d y d x = (1)/(4) ln 17

∬_D^() (y)/(x^2 + 1) d A = (1)/(4) ln 17

Resposta

∬_D^() (y)/(x^2 + 1) d A = (1)/(4) ln 17

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Exercício de Livro
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