Calcule a integral dupla.

∬ R   x y e x 2 y   d A   ,                     R = 0 ,   1 × [ 0 ,   2 ]

Passo 1

Pessoal, primeiro vamos escrever a integral dupla na forma seguinte:

∫ 0 2 ∫ 0 1 x y e x 2 y d x   d y

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 2 ∫ 0 1 x y e x 2 y d x d y

Passo 2

Para resolver a integral:

∫ 0 1 x y e x 2 y d x

Devemos fazer a substituição de variáveis que já conhecemos:

u = x 2  

d u = 2   x   d x

Logo:

x   d x =   d u 2

Substituindo na nossa integral:

∫ y e u y d u 2

Vamos considerar o y como um número constante, logo podemos passar para fora da integral com o 2:

y 2 ∫ e u y d u

Integrando em u e considerando y uma constante a integral será igual a:

y 2 ∫ e u y d u = y 2 e u y y

Agora voltando para a variável x e os valores de integração:

y 2 e x 2 y y 0 1

Vamos cancelar o y no numerador e no denominador e resolver substituir os limites da integral:

∫ 0 1 x y e x 2 y d x = 1 2 e y - e 0  

∫ 0 1 x y e x 2 y d x = 1 2 e y - 1

∫ 0 2 e x 2 y 2 0 1 d y = ∫ 0 2 1 2 e y - e 0   d y = ∫ 0 2 1 2 e y - 1   d y

Passo 3

Vamos colocar esse resultado para realizar a segunda integral:

∫ 0 2 ∫ 0 1 x y e x 2 y d x d y

∫ 0 2 1 2 e y - 1   d y

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 0 2 1 2 e y - 1   d y = 1 2 e y - y 0 2 = e 2 - 2 - e 0 + 0 2 = e 2 - 3 2

Beleza?

Resposta

e 2 - 3 2

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