Enunciado

2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:

c) ∫ 1 e ∫ ln ⁡ x 1 x d y   d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

ln ⁡ x ≤ y ≤ 1 1 ≤ x ≤ e

Logo o gráfico é o seguinte:

Passo 2

Primeiro, vamos integrar com relação a y . Trate x como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a y .

∫ ln ⁡ x 1 x   d y =

x y ln ⁡ x 1 = x ( 1 - ln ⁡ x )

= x - x l n   x

Passo 3

Agora vamos integrar em função de x , levando em conta o valor obtido na integral de y . Assim temos:

∫ 1 e x - x l n   x   d x =

Vamos separar em duas integrais para resolver mais fácil:

∫ 1 e x d x -   ∫ 1 e x l n   x   d x

A primeira parte:

∫ 1 e x d x = x 2 2 1 e =

= e 2 2 - 1 2

A segunda parte:

- ∫ 1 e x l n   x   d x =

Nesse caro iremos utilizar integral por partes:

u = ln ⁡ x ⟹ d u = 1 x d x

d v = x   d x ⇒ v = x 2 2

∫ u d v = u v - ∫ v d u

= x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2 2 ⋅ 1 x d x

= x 2 2 l n   x - x 2 4

Dessa forma,

- ∫ 1 e ln ⁡ x d x = -   x 2 2 l n   x - x 2 4 1 e =

- e 2 2 ln ⁡ e - e 2 4 - 1 4  

Juntando as duas partes, temos:

∫ 1 e x - x l n   x   d x = - e 2 2 ln ⁡ e - e 2 4 - 1 4 + 1 + e 2 2 - 1 2

= e 2 2 - e 2 2 + 1 4 e 2 - 3 4

= 1 4 e 2 - 3 4

Resposta

1 4 e 2 - 3 4

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