4. Calcular ∬ R ( x + 4 ) d x d y , onde R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 6 . Interpretar geometricamente.

Passo 1

Falaee, beleza??

Queremos resolver a seguinte integral:

∬ R   ( x + 4 ) d x d y

Onde os intervalos dados são:

0 ≤ x ≤ 2

E

0 ≤ y ≤ 6

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral dupla:

∫ 0 6 ∫ 0 2 x + 4 d x   d y

Para isso, basta primeiro respondermos com relação a x e, em seguida, com relação a y !!

Passo 2

Vamos começar resolvendo com a integral mais interna:

∫ 0 2 x + 4 d x

Podemos aplicar a propriedade da soma de integrais. Assim, ficamos com:

= ∫ 0 2 x d x + ∫ 0 2 4 d x

Resolvendo as integrais:

= x 2 2 + 4 x 0 2

Aplicando os limites de integração:

= 2 2 2 + 4 ⋅ 2 - 0 2 2 + 4 ⋅ 0 ∴

= 10

Agora vamos aplicar na integral mais externa!!

Passo 3

Aplicando na integral mais externa:

∫ 0 6 10   d y

Resolvendo a integral:

= 10 y

Aplicando os limites de integração:

= 10 6 - 0 ∴

= 60

Logo, concluímos que:

∫ 0 6 ∫ 0 2 x + 4 d x   d y = 60

Passo 4

Tendo a seguinte representação geométrica:

No plano x y , temos o retângulo que vai de x = 0 a x = 2 e de y = 0 a y = 6 .

Acima desse retângulo, o plano z = x + 4 cresce linearmente com x , de z = 4 (quando x = 0 ) a z = 6 (quando x = 2 ).

Com área igual a 60 .

Resposta

∫ 0 6 ∫ 0 2 x + 4 d x   d y = 60

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