Enunciado

Encontre a área da superfície com precisão de quatrocasas decimais, expressando-as em termos de uma integral de função de uma variável real e usando sua calculadora para estimar a integral.

A parte da superfície z = cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Para calcular a área de superfície usamos:

A S = ∬ D 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d A

Nós temos que

z = cos ⁡ x 2 + y 2

Então, vamos encontrar as derivadas parciais:

∂ y ∂ x = - 2 x   s e n ( x 2 + y 2 )

∂ y ∂ z = - 2 y   s e n ( x 2 + y 2 )

Passo 2

Assim, substituindo na fórmula:

A S = ∬ D 1 + - 2 x   s e n ( x 2 + y 2 ) 2 + - 2 y   s e n ( x 2 + y 2 ) 2 d A

Podemos dar uma arrumadinha nessa expressão:

A S = ∬ D 1 + 4 x 2 s e n 2 x 2 + y 2 + 4 y 2 s e n 2 ( x 2 + y 2 ) d A = ∬ D 1 + 4 x 2 + y 2 s e n 2 ( x 2 + y 2 ) d A

Passo 3

Tá bonitinho! Agora vamos colocar os limites de integração e calcular a integral dupla:

Note que para isso, vamos tranforma-las em coordenadas polares, logo não podemos esquecer de coloca o r .

E sabemosa que

x 2 + y 2 = r 2

Então, temos que nossa integral dupla é:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 4 r 2 s e n 2 ( r 2 ) d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r 1 + 4 r 2 s e n 2 ( r 2 ) d r

Isso implica que:

A S = 2 r ∫ 0 1 r 1 + 4 r 2 s e n 2 ( r 2 ) d r ≈ 4,1073

Resposta

≈ 4,1073

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3. Seja f:K→R de classeC 1 no compacto K com fronteira de conteúdonulo e interior não vazio. Mostre que a área da superfície z = f( x ,y ) (istoé, da superfície σ dada por x=u ,y=vez=f( u ,v )) é dada
5 . Calcule a área da parte da superfície esférica x 2+y 2+z 2=1 que seencontra dentro do cone z ≥ x 2 + y ² ²
6 . Calcule a área da superfície z = x 2 + y ²,x - 2 2 + 4 y 2 ≤ 1 ²
12 . Calcule a área da parte da superfície z=x y que se encontra dentro docilindro x 2+y 2≤4 e fora do cilindro x 2+y 2≤1
2 . Seja A=0 ,y ,z ∈R 3z 2+y-2 2=1 } ; ache a área da superfíciegerada pela rotação em torno do eixo Oz do conjunto A.