Enunciado

Calcule a integral dupla em D quando f (x , y) = x y .

Passo 1

Já que no item anterior deste exercício encontramos uma forma de representar as duas integrais duplas em apenas uma, vamos aproveitar o resultado encontrado:

int_(- 1)^1 int_(y^2 - 1)^(1 - y^2) f (x , y) d x d y

Para facilitar a nossa vida e não ter que calcular duas integrais diferentes hehe.

Passo 2

Assim, se substituirmos a função f (x , y) = x y que o exercício nos deu na integral, teremos que calcular a integral:

int_(- 1)^1 int_(y^2 - 1)^(1 - y^2) x y d x d y

Como y é considerada como constante na integral interna, podemos reescrever:

=> int_(- 1)^1 y int_(y^2 - 1)^(1 - y^2) x d y d x

Passo 3

Logo, resolvendo a primeira integral, obtemos:

int_(- 1)^1 y int_(y^2 - 1)^(1 - y^2) x d x d y = int_(- 1)^1 y [(x^2)/(2)] | (1 - y^2)/(y^2 - 1) d y

E substituindo o limite de integração nos dá:

int_(- 1)^1 y [(x^2)/(2)] | (1 - y^2)/(y^2 - 1) d y = (1)/(2) int_(- 1)^1 y [(1 - y^2)^2 - (y^2 - 1)^2] d y

Vamos expandir os trinômios quadrados perfeitos:

=> (1)/(2) int_(- 1)^1 y [(1 - 2 y^2 + y^4) - (y^4 - 2 y^2 + 1)] d y

No entanto, quando juntamos os termos semelhantes obtemos:

(1)/(2) int_(- 1)^1 y [(y^4 - y^4) + (2 y^2 - 2 y^2) + (1 - 1)] d y

Tal que:

=> (1)/(2) int_(- 1)^1 y [0] d y = (1)/(2) int_(- 1)^1 (0) d y = 0

E, portanto, nossa integral resulta em zero.

Resposta

int_(- 1)^1 int_(y^2 - 1)^(1 - y^2) f (x , y) d x d y = 0

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