Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.

c   ∫ ∫ D x + 2 y d x d y           ;           D   l i m i t a d a   p o r   y = x - 2 ,   y = 1   e   y = 4

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Como no nosso caso temos y limitado por duas constantes, podemos considerar que a região é do tipo 2, em que ela é contínua em y e que x é limitada por funções de y . Para sabermos o intervalo de x aproveitaremos a equação de y em função de x .

Passo 2

Então, como queremos saber o intervalo de x vamos esboçar o gráfico dessa região. Temos que:

Podemos ver que os intervalos serão dados por:

1 ≤ y ≤ 4

E, para x , podemos transformar a equação da curva:

y = x - 2 → y = 1 x 2

Ou seja:

x 2 = 1 y ⇒ x = ± 1 y

Tal que:

- 1 y ≤ x ≤ 1 y

Passo 3

Dessa forma, podemos escrever:

∫ 1 4 ∫ - 1 y 1 y x + 2 y d x d y

Então, resolvendo a integral interna:

∫ 1 4 ∫ - 1 y 1 y x + 2 y d x d y = ∫ 1 4 x 2 2 + 2 x y | 1 y - 1 y d y

Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:

⇒ ∫ 1 4 1 2 1 y 2 + 2 1 y y - 1 2 - 1 y 2 + 2 - 1 y y d y

O que resulta em:

⇒ ∫ 1 4 4 y d y = 4 ∫ 1 4 y 1 / 2 d y

Passo 4

Logo, podemos resolver essa integral diretamente, tal que dessa forma:

4 ∫ 1 4 y 1 / 2 d y = 4 2 3 y 3 / 2 | 4 1

Ou seja:

⇒ 8 3 y 3 / 2 | 4 1

E substituindo o intervalo de integração:

⇒ 8 3 4 3 2 - 1 3 2

∴ 8 3 8 - 1 = 56 3

Resposta

56 3

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