Enunciado

Transforme a soma das integrais duplas

∫ - 1 0 ∫ - x + 1 x + 1 f x ,   y d y d x + ∫ 0 1 ∫ - 1 - x 1 - x f x ,   y d y d x

Em uma única integral dupla numa região D conveniente.

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Como no nosso caso ambas as integrais duplas representam uma região do tipo 1 , em que a região é contínua em x e possui y limitada por funções de x , podemos transformá-las em uma única região do mesmo tipo. Mas para ajudar nisso e termos certeza disso, vamos fazer o esboço da interseção dessas regiões e determinar os intervalos de integração para cada variável.

Passo 2

Então, se fizermos o desenho das regiões representadas pela primeira e segunda integral, respectivamente, temos:

Para as curvas, temos que encontrar uma função geral que represente toda a região da primeira integral para ser o limite de integração inferior. Sabemos que a região é representada por:

y = ± x + 1

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

⇒ y 2 = x + 1

E isolando x :

x = y 2 - 1

O mesmo para a região da segunda integral para que represente o limite de integração superior. Temos que ela é dada por:

y = ± 1 - x

Elevando ao quadrado:

y 2 = 1 - x

Isolando x novamente:

x = 1 - y 2

Com isso, o intervalo de x pode ser dado por:

y 2 - 1 ≤ x ≤ 1 - y 2

Visto que deixamos x limitada por funções de y , isso significa que a nossa região agora é do tipo 2 e deve ser contínua em y . Então, se olharmos o esboço, podemos escrever y como:

- 1 ≤ y ≤ 1

Passo 3

Dessa forma, podemos juntar ambas as integrais e escrever:

∫ - 1 0 ∫ - x + 1 x + 1 f x ,   y d y d x + ∫ 0 1 ∫ - 1 - x 1 - x f x ,   y d y d x = ∫ - 1 1 ∫ y 2 - 1 1 - y 2 f x ,   y d x d y

Tal que se formos esboçar a região da nova integral, conseguimos ver que é a interseção das regiões representadas por cada integral:

Resposta

∫ - 1 1 ∫ y 2 - 1 1 - y 2 f x ,   y d x d y

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