Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.

b   ∫ ∫ D cos ⁡ y 3 d x d y           ;           D   l i m i t a d a   p o r   y = x ,   y = 2   e   x = 0

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Como no nosso caso temos uma região do tipo 1 em que a região é contínua em x e possui y limitada por funções de x , temos que aplicar a inversão da ordem de integração do Teorema de Fubini e transformar a região no tipo 2, em que ela seja contínua em y e x seja limitada por funções de y . Pra isso, podemos desenhar o gráfico da região e determinar os intervalos desejados.

Agora, vamos lembrar do Teorema de Fubini (que pode ser encontrado no livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - 1 ª ED. (página 1 61 )) que diz que se a função z = f x ,   y for contínua em um retângulo R = a ,   b × c ,   d , então:

∫ ∫ R f x ,   y d x d y = ∫ a b ∫ c d f x ,   y d y d x = ∫ c d ∫ a b f x ,   y d x d y

Para regiões não retangulares, a diferença é que apenas uma das integrais terá constantes no seu limite de integração, enquanto a outra integral terá funções no limite de integração. Isso é mostrado em:

∫ ∫ R f x ,   y d x d y = ∫ a b ∫ c x d x f x ,   y d y d x = ∫ c d ∫ a y b y f x ,   y d x d y

Passo 2

Então, como queremos saber o intervalo de x vamos esboçar o gráfico dessa região. Temos que:

Podemos ver que os intervalos serão dados por:

0 ≤ y ≤ 2

E, para x , podemos transformar a equação da curva:

y = x → x = y 2

Tal que:

0 ≤ x ≤ y 2

Passo 3

Dessa forma, podemos escrever:

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 cos ⁡ y 3 d x d y = ∫ 0 2 cos ⁡ y 3 ∫ 0 y 2 d x d y

Então, resolvendo a integral interna:

∫ 0 2 cos ⁡ y 3 ∫ 0 y 2 d x d y = ∫ 0 2 cos ⁡ y 3 x | y 2 0 d y

Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:

⇒ ∫ 0 2 cos ⁡ y 3 y 2 - 0 d y

O que resulta em:

⇒ ∫ 0 2 y 2 cos ⁡ y 3 d y

Passo 4

Logo, podemos resolver essa integral pelo método da substituição simples usando u = y 3 e d u = 3 y 2 d x , tal que:

Quando y = 0 → u = 0 ;

Quando y = 2 → u = 8

Dessa forma:

∫ 0 2 y 2 cos ⁡ y 3 d y = ∫ 0 8 cos ⁡ u d u 3

Ou seja:

⇒ 1 3 ∫ 0 8 cos ⁡ u d u = 1 3 s e n u | | 8 0

E substituindo o intervalo de integração:

⇒ 1 3 s e n 8 - s e n 0 = 1 3 s e n 8

Resposta

1 3 s e n 8

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados