Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_R^() x s e n ( x + y ) d A , R = [0 , (pi)/(6)] xx [0 , (pi)/(3)]

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na forma seguinte:

int_0^(pi // 6) int_0^(pi // 3) x s e n ( x + y ) d y d x

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^(pi // 6) (int_0^(pi // 3) x s e n ( x + y ) d y) d x = int_0^(pi // 6) (x [- cos ( x + y )]_0^(pi // 3)) d x = int_0^(pi // 6) (x [- cos (x + (pi)/(3)) + cos x]) d x

Passo 2

Galera, só nos restou uma integral simples pra resolver, mas preste bastante atenção que teremos que usar integração por partes:

int_0^(pi // 6) (x [- cos (x + (pi)/(3)) + cos x]) d x = [x (- s e n (x + (pi)/(3)) + s e n x)]_0^((pi)/(6)) - int_0^((pi)/(6)) 1 . [- s e n (x + (pi)/(3)) + s e n x] d x = - (pi)/(6) s e n ((pi)/(6) + (pi)/(3)) + (pi)/(6) s e n ((pi)/(6)) - [cos (x + (pi)/(3)) - cos x]_0^((pi)/(6)) = - (pi)/(6) s e n ((pi)/(2)) + (pi)/(6) . (1)/(2) - cos ((pi)/(6) + (pi)/(3)) + cos ((pi)/(6)) + cos (0 + (pi)/(3)) - cos 0 = - (pi)/(6) + (pi)/(12) - 0 + (sqrt(3))/(2) + (1)/(2) - 1 = - (pi)/(12) + (sqrt(3))/(2) - (1)/(2) = (sqrt(3) - 1)/(2) - (pi)/(12)

Beleza?

Resposta

(sqrt(3) - 1)/(2) - (pi)/(12)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = r 2 e y 2 + z 2 = r 2 .
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.
Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ T s e n 4 ( x + y )d A , onde T é o triângulo delimitado pelas retas y = 0 , y = 2 x e x = 1 .
Utilize a simetria para calcular ∬ D 2 - 3 x + 4 yd A , onde D é a região delimitada pelo quadrado com vértices ( ± 5,0 ) e ( 0 , ± 5 ) .
Calcule a integral ∬ D x 2t gx + y 3 + 4d A , onde D = x , yx 2 + y 2 ≤ 2 } . [Sugestão: explore o fato de que D é simétrica com relação a ambos os eixos.]